náhled|Gömböc ve stabilní rovnovážné poloze|353x353pixelů náhled|Pohyb gömböcu po vychýlení ze stabilního stavu Gömböc (maďarská výslovnost [ˈɡømbøts]) je první známé homogenní konvexní trojrozměrné těleso, které má pouze jeden stabilní a jeden nestabilní bod rovnováhy. Pokud je položeno na rovnou plochu v jakékoli jiné poloze, samovolně se díky své geometrii a gravitaci vrátí do své jediné stabilní polohy.
Historie a matematické pozadí Existenci tohoto tělesa předpověděl jeden z významných matematiků 20. století, ruský matematik Vladimir Arnold, v roce 1995 vyslovil domněnku, že existuje homogenní konvexní těleso s minimálním počtem bodů rovnováhy (1 stabilní a 1 nestabilní). Taková tělesa se nazývají mono-monostatická. Tato domněnka byla po deseti letech výzkumu potvrzena a jeho existence dokázána dvěma maďarskými matematiky Gáborem Domokosem a Péterem Várkonyim. Tělesa začali studovat a objev učinili po rozhovoru Domokose s Arnoldem. Těleso bylo následně v roce 2006 zkonstruováno.
Původ pojmenování Název pochází z maďarského slova gömb (koule). Slovem „Gömböc“ jsou v maďarštině označovány zabíjačkové pokrmy něco jako jitrnice nebo tlačenka , ale také se objevuje v maďarských lidových pohádkách jako „Gombóc“ (otesánek), který vše sní.
Geometrické vlastnosti V geometrii se těleso s jedinou stabilní klidovou polohou nazývá monostatické a termín monomonostatický byl vytvořen pro popis tělesa, které má navíc pouze jeden nestabilní bod rovnováhy. Monomonostatické těleso je pevné těleso, které má právě jeden stabilní a právě jeden nestabilní bod rovnováhy. Když se těleso položí na rovnou podložku, vždy se samo postaví do jediné stabilní polohy. Existuje také právě ještě jedna poloha, ve které je v rovnováze, ale sebemenší vychýlení z této polohy způsobí převrácení. To je nestabilní bod. U těles je tato vlastnost vzácná. U většiny těles je více stabilních i nestabilních bodů.
Koule zatížená tak, že její těžiště je posunuto od geometrického středu, je monomonostatická. Je však nehomogenní, hustota jejího materiálu se v jejím tělese mění. Dalším příkladem nehomogenního monomonostatického tělesa je hračka Panáček vstáváček (viz obrázek). náhled|Panáček vstáváček|180x180pixelů Výše uvedené příklady monomonostatických objektů jsou nehomogenní. Dlouho se myslelo, že homogenní monomonostatické těleso neexistuje. Otázku, zda je možné sestrojit trojrozměrné těleso, které je monomonostatické, ale také homogenní a konvexní, nastolil ruský matematik Vladimir Arnold v roce 1995. Konvexnost je nezbytná, protože je triviální sestrojit monomonostatické nekonvexní těleso: příkladem by mohla být koule s dutinou uvnitř.
Gömböc má velmi specifický tvar, který připomíná něco mezi koulí a oblázkem s ostrou hranou. Je homogenní, tzn. má stejnou hustotu, je konvexní, a má jednu stabilní a jednu nestabilní rovnovážnou polohu. Když se libovolně položí, převalí se do stabilní rovnovážné polohy, ale existuje ještě jedna rovnovážná poloha, „na špičce“ – a ta je nestabilní. Tvar Gömböcu je extrémně citlivý na přesnost výroby. Odchylka menší než 0,1 mm u tělesa o velikosti 10 cm může způsobit, že se z Gömböcu stane běžné těleso s více body rovnováhy.
Výskyt v přírodě náhled|Tvar Želvy hvězdnaté připomíná gömböc. Tato želva se snadno převaluje do polohy pravou stranou nahoru, aniž by se příliš spoléhala na své končetiny.|156x156pixelůPrincip Gömböcu pomohl vysvětlit evoluci tvaru krunýřů některých želv (např. Želva hvězdnatá nebo želvy rodu Testudo). Želvy s vysokým krunýřem se blíží tvaru Gömböcu, což jim umožňuje se snadno přetočit zpět na nohy, pokud se převrátí na záda. Naopak želvy s plochým krunýřem k přetočení potřebují aktivní pomoc krku a končetin.
Výroba a sběratelství Gömböc je předmětem sběratelství. V roce 2007 začala unikátní sériová výroba gömböců. Kvůli extrémním nárokům na přesnost se gömböce vyrábějí pomocí CNC frézování. Každý kus je individuálně očíslován unikátním sériovým číslem N z intervalu , kde Y označuje aktuální rok.. Gömböc č. 001 darovali autoři Vladimiru Arnoldovi k jeho 70. narozeninám. Ten jej daroval Steklovovu matematickému výzkumnému ústavu. V současné době se používají k výrobě tyto materiály: hliníková slitina,mosaz, bronz, nerezová ocel, mramor, plexisklo, stříbro, titan . Rovnovážné vlastnosti jsou ovlivněny nedokonalostmi jak v kouli, tak na povrchu. „Gömböc“ je registrovaná značka a ochranná známka. Jejich obvyklá velikost je 10 cm a každý z nich má logo Gömböc a sériové číslo. Vzhledem k malé toleranci velikosti a malému počtu objednávek je nelze koupit levně.
Odkazy
Reference
Související články Geometrie Těžiště Konvexní tělesa
Externí odkazy
Oficiální stránky Gömböcu (anglicky, maďarsky)
Kategorie:Geometrické útvary