Čebyševovy funkce jsou dvě navzájem příbuzné aritmetické funkce, které se v teorii čísel často používají, zejména při studiu rozložení prvočísel. Jsou pojmenovány po ruském matematikovi Pafnutiji Čebyševovi.

První Čebyševova funkce První Čebyševova funkce je definována jako

,

kde jsou prvočísla menší nebo rovna a značí přirozený logaritmus.

Druhá Čebyševova funkce Druhá Čebyševova funkce má několik ekvivalentních zápisů:

,

kde je von Mangoldtova funkce.

Vzájemný vztah funkcí Druhou Čebyševovu funkci lze vyjádřit pomocí první takto:

kde je jediné přirozené číslo, pro které platí .

Mezi druhou a první Čebyševovou funkcí existuje také přímý vztah:

Tento nekonečný součet však ve skutečnosti obsahuje jen konečný počet nenulových členů. Důvodem je, že výraz je roven nule, jakmile , protože funkce je definována jako součet přes všechna prvočísla , přičemž ale žádné prvočíslo není menší než .

Z toho plyne, že členy součtu mizí, jakmile

Takže pro je hodnota , a tedy i členy v součtu jsou nulové. Proto má tento součet jen přibližně nenulových členů.

Explicitní vzorec pro druhou Čebyševovu funkci V roce 1894 matematik Hans Carl Friedrich von Mangoldt dokázal, že Čebyševovu druhou funkci lze předepsat explicitně pomocí součtu přes všechny netriviální nuly Riemannovy zeta funkce:

kde značí netriviální nuly Riemannovy zeta funkce, tj. komplexní čísla pro která platí a zároveň .

Reference

Související články Riemannova funkce zeta Prvočíselná funkce Prvočíselná věta

Kategorie:Aritmetické funkce Kategorie:Teorie čísel Kategorie:Prvočísla