náhled Limita funkce je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje .
Hlavní motivací pro používání limit je možnost „opravit“ chování funkce. Pokud nelze hodnotu funkce v určitém bodě spočítat (např. kvůli dělení nulou), ale v jeho okolí se chová „rozumně“, funkci můžeme opravit tak, že její funkční hodnotu v problematickém bodě nahradíme limitou. Zda se funkce v okolí určitého bodu chová rozumně, lze poznat podle toho, že limita existuje.
Limita funkce je základní pojem v matematické analýze, v diferenciálním a integrálním počtu. Například definice spojitosti funkce používají limitu: funkce je spojitá, pokud se její funkční hodnota v každém bodě rovná její limitě v tomto bodě.
Definice Definice podle Cauchyho náhled|300px|Funkce f zobrazuje prstencové okolí bodu a do okolí bodu A. Číslo je limitou funkce v bodě , jestliže k libovolnému existuje takové , že pro všechna taková, že ( leží v prstencovém okolí bodu ) platí .
Limitu má smysl zkoumat jen v definičním oboru funkce neobsahujícím bod , tj. libovolně blízko k bodu musí být funkce definována.
Definice podle Heineho Číslo je limitou funkce v hromadném bodě definičním oboru funkce, jestliže pro každou posloupnost , kde a platí .
Heineho a Cauchyova definice jsou ekvivalentní. Heineho se používá k výpočtu limit, Cauchyova častěji k důkazům.
Definice pomocí spojitosti V definici spojitosti funkce obvykle figuruje limita. Přímým důsledkem takové definice je fakt, že v bodě, ve kterém je funkce spojitá, je limita rovna funkční hodnotě. Je však možné nadefinovat spojitost i nezávisle, například Cauchyho definice spojitosti. Potom je možné limitu zavést tak, že platí právě tehdy, když je funkce definovaná předpisemspojitá v bodě . Tato definice nejlépe vystihuje hlavní motivaci pro pojem limita funkce (možnost „opravit“ chování funkce, viz úvod).
Limita zprava a zleva náhled|Limity x → x0+ ≠ x → x0−. Proto limita pro x → x0 neexistuje. Funkce má v bodě jednostrannou limitu zleva resp. zprava, jestliže k libovolnému číslu existuje číslo takové, že pro všechna splňující podmínku resp. , tj. pro všechna z levého resp. pravého okolí bodu , platí , tj.:
- limita zleva - limita zprava
Funkce má v bodě limitu právě tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají, např. funkce nemá v bodě nula limitu, ačkoliv má obě jednostranné limity:
Limita funkce více proměnných Funkce -proměnných má v bodě limitu , jestliže k libovolnému číslu existuje číslo takové, že pro všechny body z -okolí bodu s výjimkou samotného bodu platí . Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů:
U funkce -proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, ale také vzhledem k pouze několika proměnným, např. , kde je funkcí proměnných.
Limita komplexní funkce Komplexní funkce definovaná v okolí bodu má v bodě limitu , jestliže k libovolnému existuje -okolí bodu takové, že .
Limitu v bodě zapisujeme: , kde limita může být komplexním číslem.
Nevlastní limita v nevlastním bodě Pro limitu funkce rozlišujeme: vlastní limita v vlastním bodě, nevlastní limita v vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě:
Limitu funkce nazýváme vlastní limitou funkce ve vlastním bodě . Limitu funkce nazýváme nevlastní limitou funkce ve vlastním bodě . Limitu funkce nazýváme vlastní limitou funkce v nevlastním bodě. Limitu funkce nazýváme nevlastní limitou funkce v nevlastním bodě.
Nevlastní limitu ve vlastním bodě lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu .
Příklady Příklad vlastní limity ve vlastním bodě:
Příklad nevlastní limity ve vlastním bodě:
Příklad vlastní limity v nevlastním bodě:
Příklad nevlastní limity v nevlastním bodě:
Vlastnosti Mějme funkci , která má v bodě limitu a funkci , která má ve stejném bodě limitu , pak pro libovolné číslo platí následující vztahy:
, pokud
Mějme funkci , která má v bodě limitu , tedy , a funkci , která má v bodě limitu , tedy . Pokud existuje takové , že pro všechna splňující podmínku platí , pak:
Máme-li funkce a , pro něž v okolí bodu platí , pak v případě, že obě funkce mají v bodě limitu, bude platit:
Máme-li funkce , pro něž v okolí bodu platí a existují-li limity a , pak existuje také limita:
Příklad funkce bez limity náhled|vpravo|Příklad funkce bez limity v bodě x=1 Funkce
nemá limitu v bodě .
Související články Limita Limita posloupnosti Seznam základních limit L'Hospitalovo pravidlo Spojitá funkce Okolí (matematika)
Externí odkazy
Kategorie:Limity (matematika) Kategorie:Vlastnosti matematických funkcí