Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.
Definice
Model jazyka Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly , funkční symboly četností a predikátové symboly četností , je množina nazývaná nosič struktury spolu s konstantami , funkcemi a relacemi . Konstanta , resp. funkce , resp. relace se nazývá realizací konstantního symbolu , resp. funkčního symbolu , resp. predikátového symbolu v modelu a značí se , resp. , resp. . Struktura s nosičem (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí .
Méně formálně: Jazyk obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka přidává množinu (nosič struktury, např. množinu přirozených čísel) a dodává symbolům jazyka jejich realizace.
Tarského definice pravdy V tomto odstavci značí model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu je každá funkce z množiny všech proměnných do nosiče . Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením na všech proměnných kromě a na má hodnotu , značíme .
Realizace termu Realizace termu jazyka L při ohodnocení proměnných v modelu , značíme , se definuje indukcí dle složitosti takto: , je-li proměnná , je-li konstantní symbol , je-li a jsou termy
Platnost formule Platnost formule jazyka L při ohodnocení proměnných v modelu definujeme indukcí dle složitosti takto ( platí v při ohodnocení značíme , neplatí v při ohodnocení značíme ): Je-li atomická formule tvaru , pak , pokud . Je-li atomická formule tvaru , pak , pokud . Je-li formule tvaru , pak pokud Je-li formule tvaru , pak pokud buďto nebo . Je-li formule tvaru , pak , pokud pro všechna .
Říkáme, že platí v modelu , značíme , pokud pro každé ohodnocení proměnných .
Model teorie Je-li T teorie v jazyce L a struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že je modelem T, značíme , pokud pro každý axiom teorie T.
Příklady Množina přirozených čísel spolu s konstantou , binární relací a funkcemi , a () tvoří model Peanovy aritmetiky. Tento model se nazývá standardní model. Libovolná grupa je modelem axiomatické teorie grup.
Izomorfismus modelů Izomorfismem modelů (struktur) téhož jazyka L je taková bijekce , která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje: pro každý konstantní symbol c jazyka L pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.
Existuje-li izomorfismus modelů , říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.
Související články Vnitřní model Teorie modelů Morleyova věta o kategoričnosti Vaughtova věta Löwenheim-Skolemova věta
Kategorie:Teorie modelů Kategorie:Matematická logika