Bernoulliho diferenciální rovnice je v matematice obyčejná diferenciální rovnice tvaru:
kde je reálná konstanta. Pro přejde Bernoulliho rovnice na nehomogenní lineární rovnici, pro na homogenní lineární rovnici.Weisstein, Eric W. "Bernoulli Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BernoulliDifferentialEquation.html Rovnice je pojmenována po Jacobu Bernoullim, který ji popsal v roce 1695. Význam Bernoulliho diferenciální rovnice tkví v tom, že se jedná o nelineární diferenciální rovnice, u kterých je známo přesné řešení. Speciálním případem Bernoulliho rovnic je logistická diferenciální rovnice.
Transformace na lineární diferenciální rovnici Pro a je Bernoulliho rovnice lineární. Pro a převádí substituce libovolnou Bernoulliho rovnici na lineární diferenciální rovnici.
Například:
Uvažujme následující diferenciální rovnici:
Přepíšeme ji do Bernoulliho tvaru (pro ):
Odtud substitucí dostaneme , což je lineární diferenciální rovnice.
Řešení Nechť a
je řešením lineární diferenciální rovnice
Odtud plyne, že je řešením rovnice
a pro každou takovou diferenciální rovnici a pro všechna je řešením pro .
Příklad Uvažujme Bernoulliho rovnici (v tomto případě Riccatiho rovnici).y'-2*y/x=-x^2*y^2, Wolfram Alpha, 01-06-2013
Nejprve si všimněme, že jedním řešením je . Vydělením dostáváme
Substitucí proměnných
dostáváme rovnici
kterou lze řešit metodou integračního faktoru
vynásobením dostaneme
všimněme si, že levá strana je derivací výrazu . Integrováním obou stran podle dostáváme rovnici
Tedy řešení pro je .
Odkazy
Reference
. .
Související články Obyčejné diferenciální rovnice
Externí odkazy Bernoulli equation na planetmath.org Differential equation na planetmath.org Index of differential equations na planetmath.org
Kategorie:Obyčejné diferenciální rovnice