Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny dosahuje v nějakém okamžiku průměrné rychlosti dané změny.
Rolleova věta
Speciálním jednodušším případem Lagrangeovy věty je Rolleova věta, ze které již věta Lagrangeova snadno plyne:
Nechť funkce je spojitá na intervalu , má derivaci v každém bodě intervalu a platí . Pak existuje bod takový, že .
Geometrický význam náhled|Geometrické znázornění Rolleovy věty Rolleova věta říká, že za uvedených předpokladů existuje v intervalu bod, v němž je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s osou x.
Fyzikální význam Fyzikálně lze Rolleovu větu interpretovat takto: Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“ tak, že na začátku i konci tohoto procesu má stejnou velikost, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny nulová.
Lagrangeova věta o střední hodnotě Lagrangeovu větu lze vyslovit následovně: Nechť funkce je spojitá na intervalu a má v každém bodě intervalu derivaci. Pak existuje bod takový, že platí .
Protože je derivace v bodě směrnice tečny, můžeme tvrdit, že pro platí: je v tomto bodě rostoucí je v tomto bodě klesající
Geometrický význam náhled|Geometrický význam Lagrangeovy věty Lagrangeova věta tvrdí, že za uvedených předpokladů v intervalu existuje bod , v němž je tečna k funkci rovnoběžná s přímkou vedenou body a .
Fyzikální význam Lagrangeovu větu lze fyzikálně interpretovat následovně: Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny rovna průměrné rychlosti.
Zobecnění Zobecněním Lagrangeovy věty je Cauchyova věta o střední hodnotě: Nechť funkce jsou spojité na intervalu , mají v každém bodě intervalu vlastní derivaci a nechť pro všechna platí . Pak existuje bod takový, že platí .
Důkaz Dokážeme Cauchyovu větu o střední hodnotě, Lagrangeova věta pak plyne z Cauchyovy věty volbou . Protože pro všechna , je podle obměněné implikace Rolleovy věty (důkaz) nutně (ostatní předpoklady Rolleovy věty jsou splněny díky předpokladům Cauchyovy věty). Můžeme tak definovat funkci
.
Funkce je zřejmě spojitá na intervalu , má derivaci na intervalu a . splňuje předpoklady Rolleovy věty a existuje tedy takové, že
Dle předpokladu je a tedy
.
Externí odkazy
Kategorie:Diferenciální počet Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Augustin Louis Cauchy