Unitární operátor je v matematice označení pro omezený lineární operátor splňující vztah: , tzn. adjungovaný operátor odpovídá inverznímu zobrazení. (Kde a jsou Hilbertovy prostory.)
Vlastnosti
Alternativní definice Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.
je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy je surjektivní a je izometrií, tzn.: je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.:
Důkaz:
Protože platí , je též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní.
Označme identické zobrazení a připomeňme, že: .
Z čehož máme: . ∎
Další vlastnosti Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti: Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení. Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky. Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi . Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí , jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi . Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.
Příklady Identické zobrazení je triviální případ unitárního operátoru. Rotace v . V množině komplexních čísel násobení komplexní jednotkou. Fourierova transformace v prostoru L2(ℝ). , kde je hermitovský operátor a značí exponenciálu operátoru.
Související články Antiunitární operátor Wignerova věta
Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Teorie operátorů Kategorie:Lineární operátory