Reziduum meromorfní funkce v izolované singularitě , často značené , , nebo , je jedinečné komplexní číslo takové, že má analytickou primitivní fukci na nějakém okolí zmíněné singularity. Znalost reziduí umožňuje snadno počítat některé křivkové integrály funkce pomocí reziduové věty.
Vyjádříme-li meromorfní funkci v okolí jejího izolovaného singulárního bodu Laurentovou řadou (pro ), pak reziduum v bodě se rovná koeficientu , a tak se také někdy definuje.
Z definice koeficientů Laurentova rozvoje plyne
Reziduová věta Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku , která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku . Uvažujme funkci , která je v holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů a s výjimkou těchto bodů spojitá v . Pak integrál
je roven součtu reziduí funkce v bodech , tzn. , kde označuje reziduum funkce v bodě .
Výpočet reziduí Má-li meromorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:
nebo přímo použitím reziduové věty
kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kružnici kolem c o poloměru ε, kde ε je dostatečně malé.
Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako
Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c pól řádu n vyjádřeno jako:
Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.
Kategorie:Komplexní analýza