náhled|256x256pixelů| Čtyřúhelník V geometrii je Bretschneiderův vzorec následující výraz pro obsah obecného čtyřúhelníku:
Zde, , , , jsou strany, je poloviční obvod, a a jsou dva protilehlé úhly.
Vzorec objevil německý matematik Carl Anton Bretschneider v roce 1842. Vzorec byl také odvozen ve stejném roce německým matematikem Karlem Georgem Christianem von Staudtem.
Důkaz Pro obsah čtyřúhelníku S platí:
Proto
Kosinová věta použitá na úhlopříčku e=BD dává
protože obě strany se rovnají čtverci délky diagonály . To může být přepsáno jako
Přičteme vztah pro a využijeme známé rovnosti pro goniometrické funkce, (např. pro kosinus součtu úhlů)
Připomínáme rovnost pro kosinus polovičního úhlu .
Pomocí stejných kroků jako při odvození Brahmaguptova vzorce dostaneme
Zavedením polovičního obvodu
a dosazením výše máme
a Bretschneiderův vzorec dostaneme odmocněním:
.
Důsledek Čtyřúhelník s danými délkami stran má největší obsah, právě když je tětivový. To je lépe vidět ze vzorce s úhly, protože právě u tětivového čtyřúhelníku je součet protějších úhlů roven 180°. U vzorce s diagonálami to plyne z Ptolemaiovy věty.
Související vzorce Bretschneiderův vzorec zobecňuje Brahmaguptův vzorec pro tětivový čtyřúhelník na libovolný čtyřúhelník.
Vzorec lze upravit na tvar bez úhlů, jen s délkami stran a úhlopříček a : JL Coolidge, "Historicky zajímavý vzorec pro oblast čtyřúhelníku", American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345-347. ( JSTOR ) EW Hobson: Pojednání o rovinné trigonometrii . Cambridge University Press, 1918, str. 204-205
Odkazy
Reference
Literatura Ayoub B. Ayoub: Zobecnění Ptolemaia a Brahmaguptaových vědomostí . Matematika a počítačová výchova, číslo 41, číslo 1, 2007, EW Hobson : Pojednání o rovinné trigonometrii . Cambridge University Press, 1918, s. 204-205 ( online kopie ) CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( online kopie, němčina ) F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( online kopie, němčina )
Kategorie:Čtyřúhelníky Kategorie:Matematické věty a důkazy