V teorii kategorií, oboru matematiky, je opačná kategorie či duální kategorie dané kategorie utvořena obrácením morfismů, tj. výměnou zdroje a cíle každého morfismu. Dvojnásobná výměna dává původní kategorii, takže opak opačné kategorie je původní kategorie. Symbolicky:
Příklady Příkladem je obrácení směru nerovností v částečném uspořádání. Tedy pokud X je množina a ≤ relace částečného uspořádání, můžeme definovat nový vztah částečného uspořádání ≤op jako
x ≤op y, právě když y ≤ x.
Toto nové uspořádání se běžně nazývá duální uspořádání k ≤ a je většinou značeno symboly jako například ≥. Proto hraje dualita důležitou roli v teorii uspořádání a každý koncept z teorie uspořádání má koncept duální. Například existují opačné dvojice dítě/rodič, potomek/předek, infimum/supremum, dolní množina/horní množina, ideál/filtr apod. Tyto duality v teorii uspořádání jsou zase zvláštními případy konstrukce opačných kategorií, protože každou uspořádanou množinu lze chápat jako kategorii.
Pro danou pologrupu se obvykle opačná pologrupa definuje jako kde pro každá . Takže i pro pologrupy platí princip duality. Je zřejmé, že stejná konstrukce funguje i pro grupy a je známa také v teorii okruhů, kde se aplikuje na multiplikativní pologrupu okruhu, čímž se zkonstruuje opačný okruh. I zde lze tento proces popsat rozšířením pologrupy na monoid, přičemž se vezme příslušná opačná kategorie a nakonec se z toho monoidu případně odstraní jednotka. Kategorie booleovských algeber a booleovských homomorfismů je ekvivalentní k opaku kategorie Stoneových prostorů a spojitých funkcí. Kategorie afinních schémat je ekvivalentní k opaku kategorie komutativních okruhů. Pontryaginova dualita se omezuje na ekvivalenci mezi kategorií kompaktních Hausdorffových abelovských topologických grup a opakem kategorie (diskrétních) abelovských grup. Podle Gelfandovy-Neumarkovy věty je kategorie lokalizovatelných měřitelných prostorů (s měřitelnými funkcemi) ekvivalentní s kategorií komutativních Von Neumannových algeber (s normálními unitálními homomorfismy *-algeber).
Vlastnosti Opak zachovává součiny:
(viz součinová kategorie)
Opak zachovává funktory:
(viz kategorie funktorů, opačný funktor) H. Herrlich, G. E. Strecker, Category Theory, 3rd Edition, Heldermann Verlag, , p. 99. O. Wyler, Přednášky k tématům Topoi a Quasitopoi , World Scientific, 1991, str. 8.
Opak zachovává řezy:
(viz čárková kategorie)
Odkazy
Reference
Literatura
Související články Adujngovaný funktor Kontravariantní funktor Opačný funktor
Kategorie:Teorie kategorií Kategorie:Údržba:Články s nekontrolovanými překlady