Aritmeticko-geometrický průměr je speciální průměr dvou nezáporných čísel, označovaný tradičně M(x,y) nebo agm(x,y). Lze jej vyjádřit jen pomocí integrálu nebo vyšších transcendentních funkcí.
Definice Definice aritmeticko-geometrického průměru užívá obvykle vyšší transcendentní funkce, limitu posloupnosti nebo určitý integrál, např.
,
kde K je úplný eliptický integrál 1. druhu.
Zavedení pomocí posloupností A.-g. průměr lze snadno definovat (a výhodně počítat) jako (společnou) limitu následujících posloupností, definovaných (nelineární) soustavou rekurentních rovnic 1. řádu
.
Vlastnosti Hodnota a.- g. průměru leží vždy mezi hodnotou aritmetického a geometrického průměru. Platí také
což asi nejsnadněji plyne z definice pomocí posloupností.
Použití Používá se v numerické matematice k vyčíslení hodnot jiných transcendentních funkcí jako jsou eliptické integrály i např. k rychlému výpočtu číslic čísla π.
Ve fyzice např. určuje přesnou dobu kmitu T matematického kyvadla s amplitudou
Externí odkazy Weisstein, Eric W. "Arithmetic-Geometric Mean." URL http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-GeometricMean.html, cit. 28. 6. 2018 (anglicky).
Kategorie:Matematická analýza