Galoisova korespondence je pojem z obecné algebry a teorie množin a obvykle označuje zobrazení mezi dvěma částečně uspořádanými množinami splňující určité požadavky. Pojem Galoisova korespondence zobecňuje korespondenci mezi podgrupami a podtělesy v Galoisově teorii (pojmenované po francouzském matematikovi Évaristu Galoisovi).
Definice Ať X a Y jsou množiny. Ať a . Pak nazveme Galoisovou koresponencí, platí-li:
pro pro
Někdy se definuje Galoisova korespondence alternativně následujícím způsobem:
Buď . Definujeme zobrazení takto:
.
Podotýkáme, že v anglické literatuře je pojem Galoisova korespondence vymezen pro pár vzájemně bijektivních zobrazení, zatímco Galoisově korespondenci v širším smyslu odpovídá pojem Galois connection.
Vlastnosti Je-li Galoisova korespondence množin X a Y, pak platí: pro a symetricky pro Složená zobrazení a jsou uzávěrovými operátory na X a Y. Galoisova korespondence poskytuje vzájemně inverzní bijekce a množin a .
Příklady
Algebraická geometrie Korespondence mezi algebraickými množinami, tj. podmnožinami kde je těleso, a ideály okruhu polynomů , taková, že
. S touto Galoisovou korespondencí je těsně spjatá Hilbertova věta o nulách.
Univerzální algebra V univerzální algebře se vyskytuje několik důležitých Galoisovych korespondencí:
Nechť je množina všech -algeber, je množina všech -identit, je relace taková, že . Pak dvojice zobrazení a , kde a , je Galoisovou korespondencí indukovanou relací .
Máme-li nějakou množinu , označíme množinu všech operací na , množinu všech relací na a nechť je kompatibilita, tj. je kompatibilní s . Pak Galoisova korespondence indukovaná touto relací poskytuje dvojice zobrazení. Obraz množiny nazýváme invariantem F a značíme , obraz nazýváme polymorfismy a značíme .
Literatura Bergman C.: Universal algebra. Fundamentals and Selected Topics, CRC press, 2012. Fulton W.: Algebraic Curves, Addison-Wesley, 1989.
Kategorie:Teorie uspořádání Kategorie:Algebra