Kombinace je neuspořádaná k-tice vytvořená z celkového počtu n prvků, přičemž "neuspořádaná" zde znamená, že nezáleží na pořadí vybraných prvků. Rozlišujeme kombinace s opakováním a bez opakování. Pro výpočet hodnoty je používán faktoriál. Kombinace jsou základním pojmem z kombinatoriky.
Variace se odlišují tím, že u nich je výběr uspořádaný (záleží na pořadí vybraných prvků).
Kombinace bez opakování Počet kombinací -té třídy z -prvků bez opakování, neuspořádaných -tic vybraných z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýš jednou, je:
kde symbol představuje kombinační číslo „n nad k“.
Někdy se používá zápis s indexem nebo místo písmene písmeno , takže následující zápisy jsou rovnocenné: .
Odvození výpočtu Počet kombinací zde odvodit tak, že počet všech variací vydělíme (tj. počtem permutací každé -tice), protože všechny možné permutace vybraných prvků v kombinacích nepotřebujeme:
Kombinace s opakováním Počet kombinací -té třídy z prvků s opakováním, tzn. každý prvek se ve výběru může objevit víckrát, je určen vztahem:
Vysvětlení Kombinace bez opakování Mějme skupinu tří prvků , tzn. . Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat třemi možnými způsoby, tzn. vybereme nebo nebo . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. , a tedy počet výběrů je roven:
Chceme-li z uvedené trojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat víckrát, můžeme získat následující dvojice prvků: , , . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy ) bez opakování. Pro počet dvojic pak dostáváme
Pokud chceme z uvedené trojice prvků vybrat vždy tři, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat víckrát, můžeme získat pouze jedinou trojici prvků: . Jedná se o kombinaci třetí třídy (tedy ) bez opakování. Pro počet trojic tedy platí
Kombinace s opakováním Mějme skupinu dvou prvků , tzn. . Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat dvěma možnými způsoby, tzn. vybereme nebo . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. , a tedy počet výběrů je roven:
Je vidět, že u kombinací první třídy není třeba rozlišovat, zda jsou s opakováním nebo bez opakování.
Chceme-li z uvedené dvojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a každý prvek můžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: , , . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy ) s opakováním. Pro počet dvojic pak dostáváme:
Obdobně bychom dostali , atd.
Příklady
Příklad 1 Jaký je počet možných různých tahů Sportky, kde se z celkem 49 čísel náhodně vybírá 6 čísel (tj. kolik různých sázek lze vytvořit)?
Nezáleží na výsledném pořadí vylosovaných čísel, a proto se jedná o kombinace. Protože vylosované číslo už nemůže být znovu vylosováno, jsou to kombinace bez opakování:
Celkem je možných téměř 14 miliónů různých sázek, přičemž hlavní výhru (tj. uhodnout všechna vsazená čísla) může jen jedna z těchto všech možností.
Příklad 2 Kolik je různých možností nákupu 5 porcí zmrzliny, když je na výběr z 10 druhů?
Nezáleží na výsledném pořadí vylosovaných čísel, a proto se jedná o kombinace. Protože je možné koupit víc porcí stejného druhu, jsou to kombinace s opakováním:
Celkem je 2002 možností nákupu.
Odkazy Literatura
Reference
Související články Permutace Variace Faktoriál
Externí odkazy
Kategorie:Kombinatorika