Grashofovo číslo (Gr) je podobnostní číslo v dynamice tekutin a přenosu tepla, které udává poměr vztlaku a viskózní síly působící na kapalinu. Často se objevuje při popisu volné konvekce. Je pojmenované po německém inženýrovi Franzi Grashofovi.
Použití Grashofovo číslo je:
pro svislou desku pro trubku pro obtékaná tělesa
kde: g je gravitační zrychlení β je teplotní součinitel objemové roztažnosti (přibližně rovný 1/T pro ideální plyny) Ts je povrchová teplota T∞ je průměrná teplota L je výška desky D je vnitřní průměr ν je kinematická viskozita.
Indexy L a D naznačují charakteristický rozměr.
Přechod k turbulentnímu proudění dochází při 108 < GrL < 109 pro přirozenou konvekci na svislé stěně. Při vyšších Grashofových číslech je mezní vrstva turbulentní a při nižších laminární.
Grashofovo číslo spolu s Prandtlovým číslem dává Rayleighovo číslo, bezrozměrnou veličinu charakterizující konvekci v přenosu tepla.
Přenos hmoty Existuje analogická forma Grashofova čísla používaná v případech volné konvekce v přenosu hmoty.
kde:
a:
g je gravitační zrychlení Ca,s je koncentrace a na povrchu Ca,a je koncentrace a v okolním médiu L je charakteristická délka ν je kinematická viskozita ρ je hustota kapaliny Ca je koncentrace a T je teplota (konstantní) p je tlak (konstantní).
Derivace Prvním krokem k derivaci Grashofova čísla je úprava koeficientu objemové roztažnosti, .
Měli byste mít na paměti, že ve výše uvedené rovnici zastupuje měrný objem, a není stejné jako v následující sekci, které reprezentuje rychlost. Vztah, dávající do souvislosti koeficient objemové roztažnosti a hustotu při konstantním tlaku, může být zapsán jako:
kde: je průměrná hustota tekutiny je hustota mezní vrstvy tekutiny je teplotní rozdíl mezi mezní vrstvou a tekutinou
Existují dva způsoby, jak zjistit Grashofovo číslo. První využívá bilanci energie, zatímco druhý využívá vztlakovou sílu díky rozdílu hustoty mezi mezní vrstvou a zbytkem tekutiny.
Energetická bilance Využíváme bilanci energie pro rotačně symetrické proudění. Tato analýza v sobě zahrnuje jak gravitační zrychlení, tak i přenos tepla. Matematické rovnice dále charakterizují jak rotačně symetrické proudění, tak dvourozměrné rovinné proudění.
kde:
je směr rotace, tj. směr rovnoběžný s povrchem je tangenciální rychlost, tj. rychlost rovnoběžná s povrchem je vektor roviny, tj. směr kolmý na povrch je normálová rychlost, tj. rychlost kolmá na povrch je poloměr.
V této rovnici horní index n určuje, zda se jedná o rotačně symetrický proudění nebo rovinné proudění.
= 1: rotačně symetrické proudění = 0: rovinné, dvoufázové proudění je gravitační zrychlení
Tato rovnice se rozšíří o fyzikální vlastnosti tekutiny:
Kde můžeme dále zjednodušit rovnici hybnosti tím, že položíme rychlost celé tekutiny rovnou 0 (u = 0).
Tento vztah ukazuje, že gradient tlaku je dán pouze rozdílem hustoty kapaliny a gravitačním zrychlením. Dalším krokem je vložení gradientu tlaku do rovnice hybnosti.
Další zjednodušení rovnice hybnosti dosáhneme dosazením koeficientu objemové roztažnosti místo rozdílu hustot , a vztahem pro kinematickou viskozitu, .
Pro zjištění Grashofova čísla musí být výše uvedená rovnice bezrozměrná. To znamená, že žádná proměnná v rovnici nesmí obsahovat rozměr, a namísto toho má obsahovat charakteristické poměry pro uvedený případ. Toho se dosáhne podělením všech proměnných příslušnými konstantními množstvími. Délky jsou poděleny charakteristickou délkou, . Rychlosti jsou poděleny příslušnými referenčními rychlostmi, , které berou v úvahu Reynoldsovo číslo . Teploty jsou poděleny vhodnými rozdíly teplot, . Tyto bezrozměrné parametry vypadají pak takto:
, , , , .
Hvězdičky představují bezrozměrné parametry. Zkombinováním těchto bezrozměrných rovnic s rovnicemi hybnosti dostáváme následující zjednodušenou rovnici.
kde:
je povrchová teplota je teplota kapaliny je charakteristická délka.
Bezrozměrný parametr v hranaté závorce v předchozí rovnici je Grashofovo číslo:
Buckinghamův Pi Teorém Další formovou bezrozměrné analýzy, kterou získáme Grashofovo číslo, je známý jako Buckinghamův Pi Teorém. Tato metoda zahrnuje vztlakovou sílu každého objemu díky rozdílu hustoty v mezní vrstvě a zbytku kapaliny.
Tato rovnice může být upravena:
Seznam použitých proměnných v této metodě je umístěn níže.
Proměnná Symbol Rozměr Charakteristická délka Viskozita tekutiny Tepelná kapacita tekutiny Tepelná vodivost tekutiny Koeficient objemové roztažnosti Gravitační zrychlení Rozdíl teplot Součinitel přestupu tepla
S ohledem na Buckinghamův pi teorém existuje 9 – 5 = 4 bezrozměrných skupin. Vybereme-li L, , g a jako referenční proměnné, pak skupiny jsou následující:
,
,
,
.
Vyřešením těchto skupin dostaneme:
,
,
,
Ze dvou skupin a získáme Grashofovo číslo:
Použitím a může být předchozí rovnice přepsána na stejný výsledek jako při derivování Grashofova čísla z bilance energie.
Při nucené konvekci řídí Reynoldsovo číslo proudění tekutiny, ale při přirozené konvekci tuto funkci zastává Grashofovo číslo.
Reference Jaluria, Yogesh. Natural Convection Heat and Mass Transfer (New York: Pergamon Press, 1980). Cengel, Yunus A. Heat and Mass Transfer: A Practical Approach, 3rd Edition (Boston: McGraw Hill, 2003). Eckert, Ernst R. G. and Drake, Robert M. Analysis of Heat and Mass Transfer (New York: McGraw Hill, 1972). Welty, James R. Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer (New York: John Wiley & Sons, 1976).
Kategorie:Bezrozměrné jednotky Kategorie:Mechanika tekutin Kategorie:Fyzikální veličiny Kategorie:Termodynamika