náhled|Konvoluce dvou signálů: obdélníkového pulsu a impulsní charakteristika RC článku. Výsledkem konvoluce je odezva RC článku na obdélníkový puls. Konvoluce je v matematice binární operátor zpracovávající dvě funkce.
Spojitá konvoluce (značí se hvězdičkou) jednorozměrných funkcí a je definována vztahem:
Funkci se říká konvoluční jádro. Hodnota konvoluce funkce s jádrem v bodě je integrál ze součinu funkce s otočenou funkcí konvolučního jádra (integrační proměnná má v argumentu konvolučního jádra záporné znaménko) posunutou do bodu .
Pokud jde o konvoluci při zpracovávání obrazu, je funkce většinou zkoumaný obrázek a funkce nějaký filtr.
Vlastnosti konvoluce Konvoluce má následující vlastnosti: komutativita:
asociativita:
distributivita:
existence jednotky:
kde je Diracova delta funkce (distribuce) (představující např. pulz jednotkové velikosti trvající nekonečně krátkou dobu):
asociativita při násobení skalárem:
Konvoluční teorém Konvoluční teorém říká, že Fourierova transformace konvoluce dvou funkcí odpovídá součinu jejich Fourierových transformací:
kde značí Fourierovu transformaci :
Důkaz lze provést následovně:
Zavedeme substituci a tedy :
Diskrétní konvoluce Diskrétní konvoluce dvou nekonečných řad je definována vztahem
V případě dvou konečných řad se nesčítá od do , ale pouze přes existující prvky (případně si lze na pozici neexistujících prvků představit nuly). Výsledná řada je o jeden prvek kratší než je součet délek konvoluovaných řad.
Příklad Příklad konvoluce čtyřprvkové a tříprvkové řady: (a, b, c, d) * (e, f, g) = = (a*e) (a*f) (a*g) (b*e) (b*f) (b*g) (c*e) (c*f) (c*g) (d*e) (d*f) (d*g)
následuje sečtení pod sebou
Výsledek je stejný, jakoby se jednalo o součin dvou polynomů. Koeficienty násobených polynomů by představovaly dvě konvoluované řady, koeficienty součinu polynomů by odpovídaly výsledku konvoluce.
Příklad s konkrétními hodnotami: (1, 2, -2, -1) * (1, -1, 2) = = 1 -1 2 2 -2 4 -2 2 -4 -1 1 -2
(1, 1,-2, 5,-3,-2)
Alternativně můžeme konvoluci zapsat pomocí maticového násobení:
Konkrétní hodnoty:
Využití v počítačové grafice náhled|Diskrétní dvourozměrná konvoluce v počítačové grafice. Na původní obraz se aplikuje transformační matice (3×3). Zobrazený způsob představuje korelaci a ne konvoluci, což u středově symetrické transformační matice nemá vliv.
Konvoluce se často používá v algoritmech zpracování dvourozměrného diskrétního obrazu v počítačové grafice. Vzorec diskrétní konvoluce má potom tvar
V případě diskrétní konvoluce lze jádro chápat jako tabulku (konvoluční maska), kterou položíme na příslušné místo obrazu. Každý pixel překrytý tabulkou vynásobíme koeficientem v příslušné buňce a provedeme součet všech těchto hodnot. Tím dostaneme jeden nový pixel.
Například mějme konvoluční masku o rozměru 3×3 (bude překryto 9 pixelů) a všechny buňky mají koeficient 1/9. Nový pixel, který vypočteme po aplikaci na jedno místo v původním obraze, tedy bude průměrem z devíti okolních pixelů. Neudělali jsme totiž nic jiného, než že jsme sečetli hodnoty 9 pixelů a vydělili 9. Pokud aplikujeme konvoluci na celý obraz, pak dostaneme rozostřený obraz. Pokud použijeme větší konvoluční masku 5×5 s koeficienty 1/25, pak bude obraz rozostřen více.
Koeficienty uvnitř konvoluční masky udávají vliv hodnoty pixelu pod nimi. Lze tak nadefinovat velké množství operací, např. derivace obrazu (u diskrétního obrazu mluvíme o tzv. odhadu derivace), tedy zvýraznění hran (viz detekce hran).
Odkazy
Související články Korelace
Externí odkazy
Kategorie:Binární operace Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Počítačová grafika Kategorie:Binární operátory Kategorie:Bilineární zobrazení