náhled|Paralelní přenos vektoru po uzavřené křivce na povrchu koule (z bodu A přes N do B a zpět do A). Úhel pootočení je úměrný ploše uzavřené touto křivkou. Paralelní přenos je v diferenciální geometrii způsob přenosu geometrických dat (například vektorů nebo tenzorů) podél hladkých křivek na varietě při zachování jejich vztahu k dané konexi. Umožňuje porovnávat geometrické objekty v různých bodech variety a představuje základní nástroj při studiu zakřivení, geodetik a zakřiveného prostoročasu.
Pokud je varieta vybavena afinní konexí (tj. kovariantní derivací na tečném svazku), lze pomocí této struktury transportovat vektory podél křivek tak, aby zůstávaly paralelní (rovnoběžné) vzhledem k dané konexi.
Paralelní transport lze chápat jako důsledek afinní konexe: konexe určuje lokální pravidlo porovnávání vektorů v nekonečně blízkých bodech, zatímco paralelní transport toto pravidlo rozšiřuje na přenos vektoru podél celé křivky.
Afinní konexe určuje operátor
který popisuje, jak se vektorové pole mění ve směru vektorového pole . tj. lokální pravidlo, jak porovnávat nekonečně blízké vektory.
Paralelní transport podél křivky je pak určen řešením rovnice
kde označuje tečný vektor ke křivce. Tato rovnice představuje přesnou matematickou formulaci podmínky, že se vektor podél křivky přenáší paralelně. tj. paralelní transport je globální důsledek pravidla daného afinní konexí podél konkrétní křivky.
Odvození Mějme v lokálním inerciálním systému dva body a mezi nimi libovolnou křivku, jejíž parametrizaci označíme jako . V jednom z těchto bodů mějme vektor (index označuje jeho složky). Vektor k němu rovnoběžný ve druhém bodě vytvoříme tak, že budeme přenášet podél definované křivky paralelně, tj. za splněné podmínky
.
Vektor, který je rovnoběžný ke křivce, označíme . Z definice platí pro jeho složky
,
kde značí složky polohového vektoru v lokálním inerciálním systému. Pak z předchozí rovnice plyne
(zde symbol znamená derivaci podle souřadnice).
Označíme-li polohové vektory v obecných souřadnicích , pak transformace vektoru na je dána vztahem
Po dosazení do první rovnice dostaneme
.
Přeznačením indexů u prvního výrazu z na a vynásobením přejde rovnice na
,
což lze také zapsat jako
,
kde jsou složky afinní konexe. Toto je rovnice pro paralelní přenos.
Rovnice geodetiky Rovnici paralelního přenosu
lze také zapsat pomocí kovariantní derivace jednoduše jako
nebo .
Pokud přenášíme rovnoběžný vektor
,
dostaneme rovnici geodetiky
.
Odkazy Reference
Externí odkazy
Kategorie:Geometrie