Komplexní analýza čili teorie funkcí komplexní proměnné je odvětví matematické analýzy, které se zabývá studiem funkcí komplexní proměnné. Na rozdíl od reálné analýzy, která zkoumá funkce definované na množinách reálných čísel, se tedy komplexní analýza soustředí na funkce, které mají jako definiční obor a obor hodnot podmnožiny komplexních čísel. Komplexní analýza má své počátky v pracích matematiků 18. a 19. století, zejména Leonharda Eulera, Carla Friedricha Gausse, Augustina Louise Cauchyho a Bernharda Riemanna. Její rozvoj byl významně motivován řešením problémů z fyziky a mechaniky.
Základním pojmem komplexní analýzy je holomorfní funkce, což je komplexní funkce splňující Cauchyho–Riemannovy podmínky. Tyto funkce vykazují mnohem silnější vlastnosti než spojité nebo diferencovatelné funkce v reálné analýze. Mezi další klíčové pojmy patří konformní zobrazení a komplexní integrace spolu s teorií reziduí.
Historie náhled|upright|Augustin Louis Cauchy Historie komplexní analýzy je úzce spjata s vývojem chápání komplexních čísel. První náznaky práce s odmocninami záporných čísel lze nalézt u italských matematiků 16. století, jako byli Gerolamo Cardano, Rafael Bombelli a Niccolò Fontana Tartaglia. Motivací bylo řešení kubických rovnic. Název imaginární čísla zavedl René Descartes v 17. století, protože je považoval za pouhý matematický konstrukt bez skutečného významu. Geometrická interpretace komplexních čísel jako bodů v rovině byla formulována Casparem Wesselem a Jeanem-Robertem Argandem na přelomu 18. a 19. století.
První systematické studium komplexních funkcí započalo v 18. století v pracích Leonharda Eulera, který objevil fundamentální vztah , a Jeana le Rond d'Alemberta, který zkoumal komplexní řešení diferenciálních rovnic. Zásadní přelom nastal v první polovině 19. století, kdy Augustin Louis Cauchy formuloval Cauchyovu–Goursatovu větu a Cauchyův integrální vzorec, které tvoří základ moderní komplexní analýzy. Bernhard Riemann přispěl teorií Riemannových ploch a konceptem analytického pokračování.
V druhé polovině 19. století Karl Weierstrass rozvinul rigorózní teorii založenou na mocninných řadách, zatímco Henri Poincaré a Felix Klein zkoumali souvislosti mezi komplexní analýzou, diferenciálními rovnicemi a topologií.
Ve 20. století došlo k prohloubení vztahů s ostatními oblastmi matematiky, zejména s algebraickou geometrií, teorií čísel a teorií reprezentací. Významné aplikace byly také nalezeny v teorii dynamických systémů, zejména v souvislosti s Mandelbrotovou množinou a fraktály, které zkoumal Benoît Mandelbrot v 70. letech 20. století.
Základní pojmy
Komplexní analýza stojí na pojmu komplexní číslo, které se obvykle zapisuje , kde je reálná a imaginární část, přičemž . Algebraicky se tedy jedná o uspořádanou dvojici reálných čísel ; geometricky můžeme komplexní číslo chápat jako bod v tzv. Gaussově rovině, tedy kartézské rovině, jejíž vodorovná osa znamená reálnou část a svislá osa imaginární část. Přemostěním mezi algebrou a geometrií je absolutní hodnota čili modul (vzdálenost bodu od počátku) a argument (úhel od kladné reálné osy). S jejich pomocí lze psát každé nenulové v tzv. exponenciálním (polárním) tvaru , kde . Tato kompaktní formulace také zjednodušuje počítání mocnin díky Moivreově větě
,
která propojuje trigonometrické funkce s aritmetikou komplexních čísel.
Základním pojmem komplexní analýzy jsou komplexní funkce komplexní proměnné . Každou takovou funkci lze rozepsat do reálné a imaginární části
při .
Podobně jako v reálné analýze definujeme limitu a poté i spojitost funkce v bodě podmínkou . Spojitost a limitní procesy v rovině však kladou na funkci v daném bodě silnější požadavky, než jejich reálné protějšky. Předpokládají, že cesta, po níž se bod blíží k , může být libovolně zakřivená a z libovolného směru, a přesto musí vést ke stejnému limitnímu výsledku, zatímco v reálné analýze jsou v zásadě možné pouze dva způsoby přibližování se k limitnímu bodu, a to zleva a zprava.
Derivace Funkci komplexní proměnné nazveme holomorfní (též regulární), jestliže v každém bodě své definiční oblasti má komplexní derivaci
.
Tento limitní výraz vyžaduje, aby se stejná hodnota derivace objevila při přibližování z libovolného směru v rovině, což je podstatně silnější kritérium než v reálné analýze. Pro funkci rozepsanou do reálné a imaginární části kde , předpokládá existence komplexní derivace splnění tzv. Cauchyho–Riemannových podmínek
jež propojují parciální derivace obou složek. Geometricky to znamená, že zobrazení zachovává úhly a lokálně se chová jako stejnolehlá rotace – což vysvětluje důležitou roli holomorfních zobrazení v konformní geometrii. Reálné funkce se také označují jako sdružené harmonické funkce a vyhovují Laplaceově rovnici, což má uplatnění ve fyzice (např. v teorii potenciálů). Cauchyho–Riemannovy podmínky plní a k holomorfním funkcím tak patří například polynomy, exponenciální funkce, sinus a kosinus, pokud tyto funkce přirozeným způsobem rozšíříme do komplexního oboru. Naopak nikde komplexní derivaci nemají například absolutní hodnota či komplexní sdružení, třebaže reálná i komplexní složka obou těchto funkcí je diferencovatelná v reálném oboru (kromě bodu nula v případě absolutní hodnoty); neplní však Cauchyho–Riemannovy podmínky.
Holomorfní funkce jsou současně i analytické, tedy rozvinutelné do mocninné řady
v nějakém okolí bodu . Na rozdíl od reálné analýzy zde platí úplná ekvivalence: holomorfnost, splnění Cauchyho–Riemannových rovnic a existence mocninného rozvoje jsou ekvivalentní podmínky. To dovoluje z lokálního chování funkce vyvozovat její globální vlastnosti a případně ji rozšířit mimo původní definiční obor pomocí analytického pokračování podél jakékoli cesty vyhýbající se singularitám.
Zmíněné mocninné řady mají poloměr konvergence , daný koeficienty (lze ho spočítat pomocí Cauchyho–Hadamardovy věty ). Uvnitř kruhu konvergují absolutně a uniformně na kompaktních podmnožinách a je s nimi možné provádět různé operace. Mocninnou řadu lze zejména libovolněkrát derivovat
(a integrovat), aniž by se zúžil poloměr konvergence. Tyto vlastnosti činí mocninné řady základním nástrojem pro studium chování funkcí poblíž regulárních bodů i pro klasifikaci izolovaných singularit (odstranitelných singularit, pólů a esenciálních singularit), které se projeví v rozvoji do Laurentovy řady.
Integrace Centrálním tématem komplexní analýzy je integrace funkcí komplexní proměnné podél křivek v Gaussově rovině. Ta v jistém smyslu odpovídá určitým integrálům v reálném oboru; tam však mezi dvěma různými body (integračními mezemi) vede jen jediná cesta po reálné ose, zatímco v komplexní rovině mezi nimi lze přejít po nekonečně mnoha různých křivkách.
Nechť je regulární (dostačující je spojitě po částech diferencovatelná) křivka a spojitá funkce. Křivkový integrál definujeme jako
přičemž výraz představuje element komplexní délky v daném směru. V komplexní analýze jsou zvlášť důležité uzavřené křivky, tedy takové, které začínají a končí ve stejném bodě. Pokud je holomorfní na oblasti obsahující uzavřenou křivku a její vnitřek, platí jeden z klíčových výsledků oboru, Cauchyova–Goursatova věta. Ta říká, že pro každou uzavřenou křivku ležící v jednoduše souvislé oblasti je křivkový integrál holomorfní funkce na této oblasti nulový:
Tato věta má dalekosáhlé důsledky: kromě nezávislosti integrálu na cestě spojující dva body dokazuje i existenci primitivní funkce a ukazuje propojení lokálního a globálního chování funkce, jaké v reálné analýze neexistuje. Důsledkem je mimo jiné Cauchyův integrální vzorec
kde je kladně orientovaná jednoduchá uzavřená křivka a je libovolný bod ležící uvnitř křivky. Vzorec umožňuje získat hodnoty holomorfní funkce (i všech jejích derivací) uvnitř oblasti pouze z chování funkce na hranici oblasti. Bezprostředně z něho plyne například odhad Cauchyho nerovnosti pro koeficienty mocninných řad, Liouvilleova věta o omezených holomorfních funkcích i klasická základní věta algebry.
V okolí izolovaných singularit, tedy bodů, kde holomorfnost neplatí, se používá Laurentova řada
,
jež doplňuje mocninné řady o negativní exponenty a umožňuje analyzovat povahu izolovaných singularit. Pokud jsou všechny záporné koeficienty nulové, je singularita odstranitelná; konečný počet záporných členů značí pól a nekonečný počet podstatnou (esenciální) singularitu. Nejvýznamnější koeficient se nazývá reziduum a stojí v centru teorie reziduí. Jeho význam ukazuje reziduová věta:
kde se sčítá přes všechny izolované singularity funkce uvnitř křivky . Tato věta mimo jiné dovoluje převádět některé obtížné reálné integrály na výpočet reziduí komplexních funkcí – známé aplikace zahrnují výpočet integrálů typu
nebo součty nekonečných řad pomocí Abelova–Planova vzorce. Rezidua se dále uplatňují ve Fourierově analýze a spektrální teorii při řešení parciálních diferenciálních rovnic.
Konformní zobrazení a harmonické funkce Konformní zobrazení je zobrazení , které v každém bodě zachovává orientované úhly a malá měřítka. Lokálně se tedy chová jako rotace spojená s roztažením. Ve dvourozměrném případě to znamená, že je holomorfní a její derivace není nikde na nulová. Konformní zobrazení převádějí hladké křivky na hladké křivky a zachovávají orientaci a úhly. To vysvětluje jejich význam například v kartografii či v popisu potenciálových polí.
Zvláštní postavení mají Möbiovy transformace
jež tvoří projektivní grupu . Každá taková transformace je konformní na rozšířené komplexní rovině , permutuje s pólem a jako složení tří elementárních kroků (otočení-dilatace, translace, inverze) poskytuje účinné nástroje pro studium geometrických obrazců. Ve fyzice Möbiovy transformace umožňují řešit dvourozměrné problémy potenciálového proudění nebo elektrostatiky – např. převést složitý tvar oblasti na jednodušší kruh.
Dále se pomocí komplexní analýzy studují harmonické funkce – reálné funkce splňující Laplaceovu rovnici
Každá holomorfní funkce má reálnou i imaginární část harmonickou (a naopak lokálně platí, že k libovolné harmonické funkci existuje harmonická „konjugovaná“ funkce tak, že je holomorfní). Tato dualita dovoluje převádět otázky o konformních zobrazeních na problémy teorie potenciálu a obráceně.
Typickým úkolem fyziky i čisté matematiky je Dirichletův problém – nalézt harmonickou funkci s danými okrajovými hodnotami na hranici oblasti. V případě jednotkového kruhu dává explicitní řešení Poissonův integrál
kde je předepsaná hraniční funkce. Tento integrál nejen dokazuje existenci a jednoznačnost harmonického řešení na kruhu, ale ve spojení s konformními zobrazeními rozšiřuje výsledek i na obecné jednoduše souvislé oblasti: stačí vhodně zvolené konformní zobrazení tohoto kruhu na žádaný tvar.
Konformní zobrazení tak uzavírají kruh mezi geometrií, komplexní analýzou a matematickou fyzikou: umožňují přetvářet složité oblasti na jednoduché, kde lze harmonické funkce (a tedy potenciály, proudové čáry či teplotní pole) popsat explicitně, a díky tomu řešit inženýrské a fyzikální problémy v oblasti reálných čísel.
Další témata vpravo|300px|náhled|Fraktální Mandelbrotova množina Složitější vícehodnotové funkce (např. nebo ) motivovaly zavedení Riemannovy plochy, což je komplexní varieta, na níž se tyto funkce stávají lokálně jednoparametrickými a holomorfními. Konstruováním vhodných větví plochy a jejich slepením podél řezů, v nichž se funkce rozdvojuje, vznikne plocha, na níž funkce nabývá vždy jedné hodnoty. Je to například dvoulistá plocha pro odmocninu či nekonečnělistá spirála pro logaritmus. Riemannovy plochy navíc vykazují určitý topologický invariant, rod , který měří počet „děr“ povrchu a je úzce spjat s prostorem holomorfních diferenciálů na ploše.