Ortogonální grupa je v matematice grupa lineárních transformací, které zachovávají daný skalární součin nebo obecněji nedegenerovanou symetrickou bilineární formu. V eukleidovském prostoru jde o grupu lineárních izometrií zachovávajících počátek soustavy souřadnic.
Nejčastěji se symbolem označuje grupa všech reálných ortogonálních matic řádu , tedy matic , pro které platí
Ekvivalentně jde o lineární zobrazení, která zachovávají eukleidovský skalární součin. Podgrupa matic s determinantem se nazývá speciální ortogonální grupa a značí se :
Prvky grupy zachovávají orientaci prostoru. V dimenzi 2 a 3 odpovídají obvyklým rotacím. Prvky grupy s determinantem orientaci obracejí; zahrnují například zrcadlení a jejich složení s rotacemi.
Formální definice
Nechť je vektorový prostor nad tělesem charakteristiky různé od 2 a nechť je nedegenerovaná symetrická bilineární forma na . Ortogonální grupa formy je grupa
Jinými slovy, ortogonální grupa je podgrupa obecné lineární grupy tvořená těmi invertibilními lineárními zobrazeními, která zachovávají formu .
Pokud je zvolena báze a forma má matici , lze stejnou podmínku zapsat maticově:
V eukleidovském případě je , a proto dostáváme obvyklou podmínku
Grupy O(n) a SO(n)
Reálná ortogonální grupa je grupa všech matic , které splňují
Z této rovnosti plyne
tedy
Podgrupa
se nazývá speciální ortogonální grupa. V eukleidovském případě je komponentou souvislosti obsahující jednotkovou matici. Grupa má dvě komponenty podle znaménka determinantu.
Dimenze Lieovy grupy i je
Speciálně platí , což odpovídá tomu, že rotace v trojrozměrném prostoru lze lokálně popsat třemi parametry, například Eulerovými úhly.
Ortogonální grupy signatury (p,q)
Je-li reálný vektorový prostor a nedegenerovaná symetrická bilineární forma signatury , značí se příslušná ortogonální grupa
Vhodnou volbou báze lze formu zapsat pomocí diagonální matice
Pak platí
Podgrupa prvků s determinantem se značí . Grupy a jsou přirozeně izomorfní, protože změna znaménka celé formy nemění množinu transformací, které ji zachovávají.
Důležitým příkladem je grupa nebo , označovaná jako Lorentzova grupa. Vystupuje ve speciální teorii relativity jako grupa lineárních transformací zachovávajících Minkowského časoprostorový interval.
Příklady
Grupa O(2)
Prvky grupy jsou rotace roviny kolem počátku. Mají tvar
Prvky grupy s determinantem jsou zrcadlení podle přímek procházejících počátkem. Lze je zapsat například ve tvaru
Grupa je komutativní a je izomorfní grupě jednotkových komplexních čísel .
Grupa O(3) a SO(3)
Grupa je grupa vlastních rotací trojrozměrného eukleidovského prostoru kolem os procházejících počátkem. Grupa obsahuje kromě těchto rotací také orientaci obracející ortogonální transformace, například zrcadlení podle rovin procházejících počátkem nebo jejich složení s rotacemi.
Vlastnosti
Grupy a jsou Lieovy grupy. Grupa je kompaktní a obecně nesouvislá; její dvě komponenty odpovídají hodnotám determinantu a . Grupa je pro souvislá.
Lieova algebra grupy je algebra všech reálných antisymetrických matic:
Její dimenze je
Pro má grupa fundamentální grupu izomorfní . Jejím dvojitým nakrytím je spinová grupa .
Konečné podgrupy
Konečné podgrupy ortogonálních grup často odpovídají symetriím geometrických útvarů.
Konečné podgrupy grupy jsou cyklické grupy a dihedrální grupy . Dihedrální grupa je grupa symetrií pravidelného mnohoúhelníku.
Konečné podgrupy grupy jsou až na izomorfismus:
cyklické grupy , dihedrální grupy , tetraedrální grupa, odpovídající rotačním symetriím pravidelného čtyřstěnu, oktaedrální grupa, odpovídající rotačním symetriím krychle a pravidelného osmistěnu, ikosaedrální grupa, odpovídající rotačním symetriím pravidelného dvanáctistěnu a pravidelného dvacetistěnu.
Využití
Ortogonální grupy se vyskytují v geometrii, teorii reprezentací, fyzice i krystalografii. Grupy a popisují symetrie trojrozměrného prostoru a rotace tuhých těles.
Ve fyzice se grupa objevuje jako rotační symetrie nerelativistických systémů. Její reprezentace hrají důležitou roli například při popisu momentu hybnosti v kvantové mechanice.
Grupa , respektive její podgrupy, vystupuje ve speciální teorii relativity jako Lorentzova grupa. Její reprezentace a reprezentace jejího dvojitého nakrytí jsou důležité v relativistické kvantové teorii.
V diferenciální geometrii lze složky Riemannova tenzoru křivosti chápat pomocí reprezentací ortogonální grupy, což umožňuje rozklad křivosti na ireducibilní části.
Odkazy Reference
Literatura
Související články Unitární grupa Středová souměrnost Symplektická grupa Spinová grupa
Kategorie:Teorie Lieových grup Kategorie:Teorie grup