En teoria de la probabilitat, la funció característica d'una variable aleatòria real és una eina matemàtica que proporciona informació completa sobre la distribució de probabilitat de la variable aleatòria i sovint en facilita l'estudi. A més, amb les funcions característiques es disposa, gràcies al teorema de continuïtat de Lévy, d'un mètode senzill i potent per estudiar la convergència en distribució d'una successió de variables aleatòries.

Donada una variable aleatòria real definida sobre un espai de probabilitat , la seva funció característica és la funció (és a dir de valors complexos) definida, per a tot real t, per la relació següent (on , i denota l'operador esperança):

Expressions de la funció característica Expressions integrals generals Per definició de :

Denotant per la distribució de probabilitat de la variable aleatòria X:

(segons el teorema de la mesura imatge)

Remarques: es tracta aquí d'integrals de Lebesgue;

la definició (1) té sentit perquè per a tot real t, la variable aleatòria complexa

és fitada (té mòdul 1) i, per tant, és integrable respecte a la mesura de probabilitat ;

l'equació (2) significa que la funció característica d'una variable aleatòria real X és la transformada de Fourier de la seva distribució de probabilitat , mesura de probabilitat sobre l'espai mesurable (o probabilitzable) , on és la sigma-àlgebra de Borel de

Casos particulars importants Quan X és discreta, amb valors tals que per a tot k, aleshores:

(suma finita o sèrie absolutament convergent)

Quan X és absolutament contínua, amb funció de densitat de probabilitat aleshores:

(integral de Lebesgue; en els casos usuals coincideix amb la integral de Riemann)

Propietats elementals La funció característica d'una variable aleatòria real X: compleix la relació:

és fitada:

és uniformement contínua en

és hermítica: (on és el conjugat del nombre complex z)

compleix la identitat:

i en particular : ; per tant si i tenen la mateixa distribució (dita simètrica), la funció és parella amb valors reals

(la tercera propietat es dedueix del teorema de convergència dominada; les altres són immediates)

Exemples clàssics Distribució degenerada Si la variable aleatòria X segueix la distribució degenerada de valor (és a dir: ; X és constant quasi segurament) aleshores:

Distribució binomial Si la variable aleatòria X segueix la distribució binomial (on ) aleshores:

d'on es dedueix (fórmula del binomi de Newton):

Distribució de Bernoulli En particular, si la variable aleatòria X segueix la distribució de Bernoulli (on ) aleshores:

Distribució geomètrica Si la variable aleatòria X segueix la distribució geomètrica (on ) aleshores:

Distribució de Poisson Si la variable aleatòria X segueix la distribució de Poisson (on ) aleshores:

Distribució uniforme contínua Si la variable aleatòria X segueix la distribució uniforme contínua (on i a < b) aleshores: si , i .

En particular, si X segueix la distribució (on ) aleshores: si , i .

Distribució exponencial Si la variable aleatòria X segueix la distribució exponencial (on ) aleshores:

Distribució normal estàndard Si la variable aleatòria X segueix la distribució normal estàndard aleshores:

Distribució de Laplace centrada en el 0 Si la variable X segueix la distribució de Laplace centrada en 0, , amb aleshores:

Distribució de Cauchy simètrica Si la variable aleatòria X segueix la distribució de Cauchy simètrica (on ) aleshores:

Per demostrar-ho, es pot utilitzar el teorema dels residus (anàlisi complexa).

Aplicacions Cas de la distribució normal general Sigui una variable aleatòria X amb distribució normal (on ). Aleshores: .

Cas de la distribució de Cauchy general Sigui una variable aleatòria X amb distribució de Cauchy (on ). Aleshores: .

Perquè la funció característica és anomenada així Com el seu nom ho indica, la funció característica d'una variable aleatòria (real) en caracteritza la distribució de probabilitat: dues variables aleatòries segueixen la mateixa distribució si i només si tenen la mateixa funció característica: és el teorema d'unicitat (vegeu infra).

Per aquesta raó, la funció característica d'una variable aleatòria X també és anomenada funció característica de la distribució d'X. Per exemple, es pot parlar de la funció característica de la distribució normal.

Fórmules d'inversió Fórmula d'inversió general. Donada una variable aleatòria real X, es denota per la seva funció de distribució. Per a tot parell de punts de continuïtat de es compleix la relació següent:

Això és una variant probabilista del teorema d'inversió de la transformació de Fourier.

Quan la funció característica és integrable no cal fer el pas límit en la fórmula d'inversió i, a més, la variable aleatòria té funció de densitat que s'obté com la transformada de Fourier de la funció característica. Concretament, Fórmula de inversió per a funcions característiques integrables. Sigui una variable aleatòria real amb funció característica tal que Aleshores té funció de densitat donada per A més és contínua i afitada.

Comentaris.

1. Sigui X una variable aleatòria amb distribució normal estàndard . Segons hem vist, la seva funció característica és , que és integrable ja que Per tant, per la fórmula d'inversió,

Aleshores, si definim la transformada de Fourier amb la constant normalitzadora ,títol=Real analysis|editorial=Addison-Wesley, Advanced Book Program/World Science Division|data=1983|lloc=Reading, Mass|isbn=978-0-201-14179-5|nom=Serge|cognom=Lang|pàgines=363}} tindrem que la funció és invariant per la transformada de Fourier:

2. Hi ha moltes funcions de densitat que no són contínues o no són afitades, i llavors la seva funció característica no és integrable. Per exemple, la distribució exponencial de paràmetre , , té funció de densitat

Aquesta funció té una discontinuïtat en el punt 0. La seva funció característica és que té mòdul Llavors,

Teorema d'unicitat El teorema d'inversió permet reconstruir (almenys en teoria) la funció de distribució d'una variable aleatòria a partir de la seva funció característica. Una conseqüència és l'important teorema d'unicitat:

Dues variables aleatòries reals són idènticament distribuïdes si i només si tenen la mateixa funció característica.

Utilització pràctica El més sovint, el teorema d'unicitat s'utilitza de la manera següent per determinar la distribució de probabilitat d'una variable aleatòria real X: es calcula la funció característica i es reconeix la funció característica d'una distribució clàssica que és, per tant, la distribució dX (per exemple, vegeu infra la prova de l'estabilitat d'algunes distribucions de probabilitat).

Funció característica de la suma de variables aleatòries independents Suma de dues variables aleatòries independents Donades dues variables aleatòries reals independents X i Y (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relació següent: . En efecte, . Atès que X i Y són independents, també ho són, per a tot real t, les variables aleatòries i ; per tant: .

Remarca: el recíproc és fals. Existeixen variables aleatòries no independents les funcions característiques de les quals compleixen aquesta relació. Heus aquí un exemple ben conegut: donada una variable aleatòria X amb distribució de Cauchy simètrica :

Però és clar que X i X no són independents.

Generalització Donades n variables aleatòries reals independents (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relació següent:

(per consegüent, el producte de funcions característiques també és una funció característica).

Se sap que la transformada de Fourier d'un producte de convolució és el producte ordinari de les transformades de Fourier.

Tenint en compte el teorema d'unicitat, la relació precedent s'interpreta així: si les variables aleatòries són independents, aleshores: : la distribució de probabilitat de la suma és el producte de convolució de les distribucions dels termes.

Per determinar la distribució de la suma, els dos punts de vista (producte de convolució de les distribucions de probabilitat, producte ordinari de les funcions característiques) són matemàticament equivalents. Tanmateix, el mètode de les funcions característiques és generalment més simple d'utilitzar.

Aplicació: estabilitat d'algunes distribucions de probabilitat Siguin n variables aleatòries reals independents . si per a tot k, segueix la distribució binomial , aleshores segueix la distribució binomial

si per a tot k, segueix la distribució de Poisson , aleshores segueix la distribució de Poisson

si per a tot k, segueix la distribució normal , aleshores segueix la distribució normal

si per a tot k, segueix la distribució de Cauchy , aleshores segueix la distribució de Cauchy

Funció característica i moments Sigui una variable aleatòria real X.

Teorema directe Si el moment d'ordre m dX existeix (finit), aleshores: la funció característica és de classe en

, i per tant:

, on .

Recíproc (parcial) Si és m vegades derivable en el punt 0, aleshores: per a tot natural k tal que el moment d'ordre k dX existeix i:

En particular, si és infinitament derivable en el punt 0, aleshores tots els moments d'''X existeixen.

Exemple Si la variable aleatòria X segueix la distribució de Poisson , la seva funció característica és infinitament derivable en : tots els moments dX existeixen. Es comprova fàcilment que: . Per tant: , , i (també es poden calcular directament com a sumes de sèries convergents).

Teorema de continuïtat de Lévy Aquest teorema permet estudiar la convergència en distribució de les successions de variables aleatòries per mitjà de la convergència puntual de les seves funcions característiques.

Enunciat Una successió de variables aleatòries reals convergeix en distribució cap a una variable aleatòria real X si i només si: quan , on

és una funció contínua en el punt 0. En aquest cas, és la funció característica dX.

Versió més simple Una successió de variables aleatòries reals convergeix en distribució cap a una variable aleatòria real X si i només si: quan . La segona versió exigeix que sigui coneguda per endavant la distribució límit.

Utilitzacions Heus aquí unes quantes aplicacions clàssiques del teorema de continuïtat de Lévy.

Teorema del límit central Una aplicació clàssica del teorema de continuïtat de Lévy és la prova del teorema del límit central.

Teorema de convergència de Poisson Una segona aplicació clàssica és la prova del teorema de convergència de Poisson:

Sigui una successió real tal que (on ) i per a tot n, .

Si per a tot n, la variable aleatòria segueix la distribució binomial , aleshores la successió convergeix en distribució cap a una variable aleatòria X amb distribució .

Llei feble dels grans nombres Una tercera aplicació clàssica és la prova de la llei feble dels grans nombres per a variables aleatòries integrables (és a dir amb esperança finita) i independents. S'enuncia així:

Donada una successió de variables aleatòries reals (definides sobre el mateix espai de probabilitat) independents i idènticament distribuïdes (abreujadament i.i.d), amb esperança finita, es posa: .

Si es defineix per a tot n: , on , aleshores la successió convergeix en distribució cap a la constant .Remarca: se sap que la convergència en distribució cap a una constant equival a la convergència en probabilitat cap a la mateixa constant.

Cas multidimensional Sigui un vector aleatori de dimensió , és a dir, una aplicació tal que cada component és una variable aleatòria. La seva funció característica és l'aplicació definida per Amb notació vectorial, si designem per el producte escalar ordinari de dos vectors , Quan no hi hagi confusió, escriurem en lloc de .

Càlcul de la funció característica Cas discret Sigui un vector aleatori discret amb funció de probabilitat . Aleshores la seva funció característica és

Cas absolutament continu