En matemàtiques, una funció identitat, anomenada també aplicació identitat o transformació identitat, és una funció que sempre retorna el mateix valor que s'ha fet servir com a argument. En altres paraules, la funció identitat és la funció f(x) = x.
Definició Formalment, si M és un conjunt, la funció identitat f de M es defineix com aquella funció amb domini i codomini M que satisfà f(x) = x per a tots els elements x de M.
La funció identitat f de M sovint es denota per idM o 1M.
Propietat algebraica Si f : M → N és qualsevol funció, llavors es té f ∘ idM = f = idN ∘ f (on "∘" denota la composició de funcions). En particular, idM és l'element identitat dels monoides de totes les funcions de M en M.
Com que l'element identitat d'un monoide és únic, es pot definir de forma alternativa la funció identitat de M com la que és aquest element identitat. Aquesta definició generalitza el concepte d'un morfisme identitat en teoria de categories, on els endomorfismes de M no cal que siguin funcions.
Exemples La funció identitat és un operador lineal, quan s'aplica a espais vectorials. La funció identitat en el conjunt dels nombres enters positius és una funció totalment multiplicativa (essencialment multiplicació per 1), estudiada en teoria de nombres. En un espai vectorial de dimensió n la funció identitat es representa per la matriu identitat In, independentment de la base. En un espai mètric la identitat és de forma trivial una isometria. Un objecte sense cap simetria té com a grup simètric el grup trivial que només conté aquesta isometria (simetria tipus ''C1).
Identitat