Euclides (en ) fou un matemàtic de l'antiga Grècia que va viure cap al 300 aC i és conegut avui en dia com a «pare de la geometria». Va ser actiu a Alexandria (antic Egipte) en temps de Ptolemeu I Soter (323 – 283 aC), i fou el fundador de l'escola de matemàtiques de la ciutat.
La seva obra més famosa són els Elements, considerat sovint el llibre de text de més renom de la història de les matemàtiques, en el qual es dedueixen les propietats dels objectes geomètrics i dels nombres naturals a partir d'un petit conjunt d'axiomes. Aquesta obra, un dels més antics tractats coneguts que presenten de manera sistemàtica, amb demostracions, un ampli conjunt de teoremes sobre la geometria i l'aritmètica teòrica, ha conegut centenars d'edicions en totes les llengües, i els seus temes resten en la base de l'ensenyament de les matemàtiques al nivell secundari en nombrosos països. Del nom d'Euclides, deriven en particular l'algorisme d'Euclides, la geometria euclidiana (i geometria no euclidiana), i la divisió euclidiana. També va escriure sobre perspectiva, seccions còniques, geometria esfèrica i teoria de nombres.
Biografia miniatura|Euclides tal com l'imagina Rafael en aquest detall de L'escola d'Atenes. No es conserva cap descripció de l'aparença física d'Euclides, de manera que és representat en funció d'obres anteriors o de la imaginació de l'artista. Es coneixen molt pocs detalls de la seva vida, tret del fet que va viure a Alexandria. No existeix cap font directa sobre la vida d'Euclides: no es disposa de cap carta, de cap indicació autobiogràfica (fins i tot, sota la forma d'un prefaci en una obra), de cap document oficial, i ni tan sols de cap al·lusió per un dels seus contemporanis. Com ho resumeix l'historiador de les matemàtiques Peter Schreiber, «sobre la vida d'Euclides, no es coneix ni un sol fet segur».
Existeixen altres dades, però són poc fiables, perquè també apareixen en les biografies d'altres matemàtics, i no són considerades com a reals. Així, Procle explica que, quan Ptolemeu va demanar a Euclides si hi havia un camí més curt cap a l'aprenentatge de la geometria que els Elements, Euclides va respondre que no hi havia cap drecera cap a la geometria., Comentari als Elements d'Euclides, p. 57. Aquesta anècdota és qüestionable, atès que és similar a una història explicada sobre Menecme i Alexandre el Gran.Boyer, p. 96. Hi ha autors àrabs que afirmen que era fill de cert Nàucrates.
Pel que fa a l'autoria dels Elements, es consideren tres hipòtesis: Euclides fou efectivament el personatge històric que va escriure els Elements i la resta d'obres que li són atribuïdes. Euclides fou el líder d'un equip de matemàtics que treballaven a Alexandria. Tots van contribuir a escriure les obres completes d'Euclides, fins i tot signant llibres amb el nom d'Euclides en data anterior a la mort d'aquest. Les obres completes d'Euclides foren, en realitat, escrites per un equip de matemàtics d'Alexandria que van prendre el nom dEuclides del filòsof Euclides de Megara, que havia viscut uns cent anys abans.
Procle, que fou el darrer gran representant de la filosofia grega, va escriure cap a mitjans del dC (vuit segles després) un seguit de comentaris sobre el llibre I dels Elements. Aquests comentaris han acabat resultant una font d'informació molt valuosa sobre la història de les matemàtiques a l'antiga Grècia. Dels seus comentaris, per exemple, se sap que Euclides va incorporar les aportacions d'Eudox de Cnidos amb relació a la teoria de la proporció, de Teetet sobre els políedres regulars, i d'altres com Filip d'Opunt. miniatura|esquerra|Representació d'Euclides Precisament, l'escrit més antic conegut en relació amb la vida d'Euclides apareix en un resum sobre la història de la geometria escrit al de la nostra era pel filòsof neoplatònic Procle, comentarista del primer llibre dels Elements. Procle no dona ell mateix cap font per a les seves indicacions. Solament diu: «reunint els seus Elements, [Euclides] en té coordinats molts […] i evoca en irrefutables demostracions el que els seus predecessors havien ensenyat d'una manera relaxada. Aquest home ha viscut, d'altra banda, sota el primer Ptolemeu, atès que Arquimedes […] esmenta Euclides. Euclides és, doncs, més recent que els deixebles de Plató, però més antic que Arquimedes i Eratòstenes».
Si s'admet la cronologia donada per Procle, Euclides va viure entre Plató i Arquimedes i fou contemporani de Ptolemeu I, aproximadament cap al 300 abans de la nostra era. No hi ha cap document que contradigui aquestes poques afirmacions, ni que les confirmi vertaderament. La menció directa d'Euclides de les obres d'Arquimedes ve d'un pas considerat com a dubtós.
Arquimedes fa referència a alguns resultats dels Elements i un òstracon, trobat a l'illa d'Elefantina i datat del abans de la nostra era: tracta de figures estudiades en el llibre XIII dels Elements, com el decàgon i l'icosàedre, però sense reproduir exactament els enunciats euclidians; podrien, doncs, provenir de fonts anteriors a Euclides.Fowler pàg. 208 La data aproximada de 300 abans la nostra era és, tanmateix, jutjada compatible amb l'anàlisi del contingut de l'obra euclidiana i és l'adoptada pels historiadors de les matemàtiques. miniatura|Euclidis quae supersunt omnia (1704) D'altra banda, una al·lusió del matemàtic del de la nostra era Papos d'Alexandria, que suggereix que alumnes d'Euclides haurien ensenyat a Alexandria. Alguns autors han associat sobre aquesta base Euclides amb el Musèon d'Alexandria, però no figura en cap document oficial. El qualificatiu sovint associat a Euclides en l'antiguitat és simplement stoikheiotes, 'autor dels Elements.
Igualment, a partir de l'antiguitat tardana s'afegiren diversos detalls als relats de la vida d'Euclides, sense fonts noves, i sovint de manera contradictòria. Així, hi ha autors que fan néixer Euclides a Tir, d'altres a Gela, i li atribueixen diverses genealogies, amos particulars, diferents dates de naixement i de mort, sia per respectar les regles del gènere, o per afavorir algunes interpretacions. Es donen diversos exemples, que han estat refutats. A l'edat mitjana i al començament del Renaixement, el matemàtic Euclides sovint es confon amb un filòsof contemporani de Plató, Euclides de Mègara.
Obres d'Euclides miniatura|Estàtua d'Euclides a Oxford Són diversos els autors que esmenten un llistat d'obres atribuïdes a Euclides; en particular, en la Col·lecció matemàtica de Papos (datada usualment del o ) i en el Comentari als Elements d'Euclides de Procle.Joyce, David. Euclid. Clark University Department of Mathematics and Computer Science. De les obres atribuïdes, solament una part s'ha conservat.
Les obres que ens han arribat, a més dels Elements, són: Dades , Sobre les divisions, Catòptrics, Aparences del cel i Òptiques. Pel que fa a obres fragmentàries, les fonts àrabs li atribueixen diversos tractats sobre mecànica. Sobre allò pesat i el lleuger conté, en nou definicions i cinc proposicions, les nocions aristotèliques de moviment dels cossos i el concepte de gravetat específica. Sobre l'equilibri tractava la teoria de la palanca també d'una manera axiomàtica, amb una definició, dos axiomes i quatre proposicions. Un tercer fragment, sobre els cercles descrits pels extrems d'una palanca mòbil, conté quatre proposicions. Aquestes tres obres es complementen de tal manera l'una amb l'altra que s'ha suggerit que són romanents d'un sol tractat de mecànica escrit per Euclides.
Els Elements
miniatura|esquerra|Un dels fragments originals més antics que es conserven dels Elements, trobat a Oxirrinc i que data de c. 100. El diagrama és del llibre II, proposició 5.
L'objectiu dels Elements d'Euclides () fou reunir els molts resultats matemàtics que s'havien anat originant, i presentar-los sota una estructura coherent i estructurada. D'aquesta manera, se'n facilitava l'ús i es podia fer servir com a referència. A més, Euclides hi detalla un seguit de proves matemàtiques que serveixen com a model de rigor i construcció de les demostracions matemàtiques durant segles. Per aquest motiu, se'l considera un dels llibres més importants en tota la història de la ciència, i probablement el més important en tota la història de les matemàtiques.
Els Elements d'Euclides és un tractat que es divideix en tretze llibres, la major part dels quals es dediquen a l'estudi de la geometria: els llibres I, III, IV i part del XII són de geometria plana, l'XI, XIII i l'altra part del XII, de geometria a l'espai. Els llibres II, V, VI i X són d'àlgebra, i els llibres VII, VIII i IX es dediquen a l'estudi de l'aritmètica. Els quatre primers llibres més els VII, VIII i IX són considerats provinents del pitagòrics. Els V, VI i a Eudox, el X i el XIII a Teetet i l'XI a l'escola jònica.
A la part dedicada a la geometria, es presenta de manera formal, partint únicament de cinc postulats, l'estudi de les propietats de línies, plans, cercles, esferes, triangles i cons. Els teoremes d'Euclides de geometria sintètica continuen sent els que s'ensenyen a l'escola avui en dia. Entre d'altres, destaquen, per exemple, que «la suma dels tres angles interiors de qualsevol triangle fan 180°», o que «en un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és la suma dels quadrats dels catets», el conegut teorema de Pitàgores.
El sistema geomètric descrit en els Elements es va considerar durant més de dos mil·lennis l'única geometria possible. No obstant això, avui en dia el considerem un tipus determinat de geometria, la geometria euclidiana, per distingir-lo de les geometries no euclidianes que els matemàtics van descobrir el . L'aparició de noves geometries prové de canviar el cinquè axioma de la geometria, que estableix que per un punt exterior a una recta, hi passa únicament una recta paral·lela a aquesta.
Tot i que, normalment, es dona importància als continguts geomètrics dels Elements, els seus resultats referents a teoria de nombres també són fonamentals. Euclides parla de la connexió entre els nombres perfectes i els primers de Mersenne, dona una demostració sobre la infinitat dels nombres primers, estudia la divisibilitat, tracta el lema d'Euclides de factorització —que porta al teorema fonamental de l'aritmètica sobre la factorització única en nombres primers—, i dona l'algorisme d'Euclides per trobar el màxim comú divisor de dos nombres, que és el més ràpid que existeix.
La Dades Les Dades () és l'única altra obra d'Euclides que tracta de geometria i de la qual es posseeix una versió en grec (hi és, per exemple, al manuscrit del descobert per Peyrard). També és descrit en detall en el llibre VII de la Col·lecció matemàtica de Papos, el «Tresor de l'anàlisi», molt relacionat amb els primers quatre llibres dels Elements. Tracta del tipus d'informació donat en problemes geomètrics, i de la seva naturalesa. La Data se situa en el marc de la geometria plana i és considerada pels historiadors com un complement dels Elements, sota una forma més adequada a l'anàlisi de problemes.Taisbak, pàg. 15Knorr, pàg. 109. L'obra conté 15 definicions, i explica el que significa un objecte geomètric, en posició, en forma, en grandària, i 94 teoremes. Aquests expliquen que, si es donen alguns elements d'una figura, altres relacions o elements en poden ser determinats.
Sobre les divisions Aquesta obra () és descrita en el Comentari de Procle, però és perduda en grec; hi ha trossos en llatí (De divisionibus), però sobretot es conserva un manuscrit en àrab descobert al , que conté 36 proposicions, quatre de les quals són demostrades.