Els nombres enters són els que designen quantitats no fraccionables en parts més petites que la unitat. Per exemple −3, 80, −4 o 2019 són enters, mentre que ; −1,5; 3,14; o no ho són.
Els enters es poden qualificar també amb l'adjectiu sencer: que no hi manca cap part. Aquesta no és, però, forma correcte d'anomenar-los.
Són una extensió dels nombres naturals de forma que a més de comptar coses, permeten comptabilitzar pèrdues o deutes. També són necessaris en magnituds com les altures o la temperatura en què cal considerar valors per sobre o per sota de zero.
El conjunt dels nombres enters es representa amb el símbol , la lletra inicial de la paraula alemanya Zahl (‘nombre’).
El conjunt dels nombres enters , està format per:
Els nombres naturals anomenats també enters positius: . S'escriuen tant amb el signe més (+) al davant com sense. Si un nombre no porta el signe +, se sobreentén que és positiu. El nombre 0 (zero) El zero és l'únic nombre enter que no és positiu ni negatiu. Nombres enters negatius: , conjunt que conté els oposats als nombres naturals positius. S'escriuen sempre amb el signe menys (−) al davant, Aquest signe menys forma part de la designació del nombre, no indica l'operació resta.
center|miniatura|435x435px|Els enters s'acostumen a representar com a punts equidistants situats sobre una recta que s'estén cap a l'infinit en les dues direccions. Els positius cap a la dreta i els negatius cap a l'esquerra.Matemàticament, el conjunt dels nombres enters amb les operacions de suma i multiplicació, , constitueix una estructura algebraica d'anell commutatiu i unitari.
és també un conjunt infinit numerable completament ordenat sense fita superior i tampoc fita inferior.
La branca de les matemàtiques que estudia les propietats dels nombres enters s'anomena teoria de nombres.
Història Històricament el reconeixement dels nombres negatius com a nombres de ple dret ha estat molt més complicat que per la resta dels enters.
El concepte abstracte de nombres negatius va ser reconegut entre el 100 aC – 50 aC. El xinès Els nou capítols de les arts matemàtiques (九章算术) (Jiu-zhang Suanshu) conté mètodes per a trobar àrees de figures; es feien servir barres vermelles per a denotar coeficients positius i barres negres per als negatius. Aquesta és la menció dels nombres negatius més antiga coneguda a l'Est; la primera referència en un treball occidental va ser al a Grècia. Diofant d'Alexandria va fer referència a l'equació que avui s'escriuria com a (la solució ha de ser negativa) a Aritmètica, dient que l'equació donava un resultat absurd.
Durant els anys 600, els nombres negatius s'usaven de forma habitual a l'Índia per a representar deutes. La referència anterior de Diofant va ser discutida de forma més explícita pel matemàtic indi Brahmagupta, a Brahma-Sphuta-Siddhanta 628, qui va fer servir nombres negatius per a produir la forma general de la fórmula quadràtica que es continua fent servir avui en dia. Però, al a l'Índia, Bhaskara II obté les arrels negatives de les equacions quadràtiques però diu que el valor negatiu "en aquest cas no s'ha d'adoptar, perquè és inadequat; la gent no aprova les arrels negatives".
Els matemàtics europeus, majoritàriament, es varen resistir al concepte de nombres negatius fins al , tot i que Fibonacci admetia solucions negatives en problemes financers on es podien interpretar com a deutes (capítol 13 del Liber Abaci, 1202) i més tard en el cas de pèrdues (a Flos). Al mateix temps, els xinesos indicaven els nombres negatius a base de dibuixar una ratlla diagonal travessant el dígit de més a la dreta diferent de zero del corresponent nombre positiu. El primer ús dels nombres negatius en un treball europeu va ser fet per Nicolas Chuquet durant el . Els va fer servir com a exponents, però es referia a ells com a "nombres absurds".
Fins i tot en dates tant recents com al , el matemàtic Suís Leonhard Euler creia que els nombres negatius eren més grans que infinit, i era pràctica habitual ignorar qualsevol resultat negatiu que donessin les equacions basant-se en la suposició de què no eren significatius, tal com va fer René Descartes amb les solucions negatives d'un sistema cartesià de coordenades.
Extensió dels nombres naturals miniatura|Cinc pomes menys tres pomes són dues pomes. La resta de dos nombres naturals és un altre nombre natural sempre que el subtrahend sigui més petit que el minuend. Però quan el subtrahend és més gran que el minuend com en la resta 3-4 el resultat no és un nombre natural. Aquest és el motiu pel qual ens cal ampliar els nombres naturals amb els negatius. El resultat de 3-4 és el nombre enter -1. Aquesta operació es pot interpretar, per exemple, com que hem agafat 4 plàtans tot i que en teníem assignats 3, el resultat és que tenim el "deute" d'un plàtan.
Els nombres enters són una ampliació del conjunt dels nombres naturals i una part del conjunt dels nombres racionals.
Amb els nombres enters es poden fer les operacions numèriques usuals de la suma, resta i multiplicació.
Treballant amb el conjunt dels enters és possible resoldre sempre les equacions del tipus que per exemple si i no es podia resoldre treballant amb el conjunt dels nombres naturals.
En canvi, si sols treballem amb enters, les equacions del tipus no tenen sempre solució. Per exemple si i , l'equació té solució entera , però si i no hi ha solució entera. En altres paraules, la divisió entre enters no sempre dona com a resultat un enter.
Aquest és el motiu pel què cal una ampliació dels nombres enters incorporant els nombres fraccionaris o racionals. Els enters es poden considerar com a fraccions amb el denominador igual a u.
A partir dels nombres naturals es construeixen, doncs, els nombres enters estenent-los, és a dir afegint-los-hi uns nous elements de tal forma que la resta sempre tingui un resultat.
La resta es defineix com l'operació inversa de la suma, així si , llavors i .
El conjunt dels nombres naturals es diu que és tancat respecte de la suma perquè per a qualsevol parella de nombres naturals, el resultat de la seva suma és també un nombre natural.
Ara bé, resulta que el conjunt de nombres naturals no és tancat respecte de la resta perquè, per exemple, no existeix cap nombre natural que sumat a 1 doni zero, per tant 0 − 1 no té cap resultat dins del conjunt dels nombres naturals.
El nombre negatiu −n (oposat de n) es defineix com el nombre que sumat a n dona zero.
Els nombres negatius es poden interpretar com la quantitat d'elements, de conjunts amb elements especials, que en unir-se amb els conjunts que tenen elements normals es neutralitzen, cancel·len o anul·len. Per exemple una quantitat negativa de diners es pot emprar per a representar un deute de tal manera que en unir-se amb la mateixa quantitat però positiva es cancel·la el deute. La càrrega elèctrica d'un determinat nombre de partícules es pot representar amb un nombre negatiu de tal manera que en reunir-se amb un nombre igual de partícules que tenen la mateixa quantitat de càrrega però oposada es cancel·len mútuament i en resulta una matèria elèctricament neutra.
Els nombres negatius s'escriuen afegint un signe menys davant del nombre del qual en són oposats. Així l'oposat del 7 s'escriu −7. Quant el conjunt de nombres negatius s'uneix amb el conjunt dels nombres naturals (inclòs el zero), s'obté el conjunt dels nombres enters.
Operacions amb nombres enters Com que els nombres enters són una extensió dels nombres naturals les operacions de sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciació, etc. han de coincidir (han de donar el mateix resultat) quan s'apliquen entre els nombres enters que estan identificats amb nombres naturals, però cal definir de nou el significat d'aquestes operacions quan intervenen nombres negatius.
Un concepte útil per aquestes definicions és el de valor absolut d'un nombre enter. Es defineix el valor absolut d'un nombre enter n de la següent manera: Si el nombre n és positiu el seu valor absolut és el mateix nombre, si és negatiu el seu valor absolut és el seu oposat.
Extensió de la suma En sumar dos nombres negatius si es vol que es conservin les propietats commutativa i associativa ha de ser:
Per tant, cal definir la suma com:
O dit en paraules, per sumar dos nombres negatius, se sumen els mòduls i al resultat se li posa signe negatiu.
Llavors es pot veure que sumar un nombre negatiu i restar han de ser el mateix. Com que en sumar i restar el mateix nombre a una quantitat ha de quedar la mateixa quantitat, si s'ha de seguir complint la propietat associativa ha de ser.
Aquesta propietat permet definir la suma de dos nombres de diferent signe. Si el que té el mòdul més gran és el positiu i el que té el mòdul més petit és negatiu simplement es resta del de mòdul més gran el més petit. Si el que té el mòdul més gran és el negatiu llavors no es pot restar però es pot aplicar el següent:
Per tant, el que es fa és restar del que té el mòdul més gran el que el té més petit i al resultat se li assigna signe negatiu.
Extensió de la resta Com que sumar un nombre negatiu i restar ha de ser el mateix, per estendre la resta n'hi ha prou amb definir-la com la suma de l'element oposat. Llavors s'apliquen les regles de la suma.
Extensió de la multiplicació Per estendre la multiplicació al cas de dos nombres de diferent signe es pot forçar que es compleixi la propietat commutativa per poder multiplicar sempre el positiu pel negatiu i definir-la com el resultat de sumar el negatiu amb si mateix una quantitat de vegades igual al nombre positiu. Això és el mateix que sumar el positiu amb si mateix una quantitat de vegades igual al mòdul del nombre negatiu i al resultat canviar-li el signe. O cosa que és el mateix, multiplicar els mòduls i al resultat assignar-li el signe negatiu.
L'observació anterior dona el criteri per estendre la multiplicació de dos nombres negatius es multiplica un pel mòdul de l'altre (que com que el primer és negatiu dona un resultat negatiu) i al resultat se li canvia el signe (que dona un resultat positiu).
Extensió de la divisió Si es vol que en tornar a multiplicar el resultat d'una divisió pel divisor doni altre cop el dividend no hi ha més remei que definir-la com el resultat de la divisió dels mòduls i llavors aplicar el mateix criteri de signes que amb la multiplicació. Cal fixar-se que igual com passa amb els nombres naturals, no sempre es pot trobar el resultat d'una divisió, és el cas en què no es pot trobar el resultat de la divisió dels mòduls en el conjunt dels nombres naturals.
Regles per sumar, restar i dividir nombres enters Tot això es pot resumir en la següent taula on a i b són nombres naturals: Sumar Restar Multiplicar Dividir
O, cosa que és el mateix, amb les següents regles:
Per sumar dos nombres enters: del mateix signe: Se sumen els valors absoluts dels sumands, es posa el mateix signe dels sumands. de diferent signe: Es resten els valors absoluts dels sumands, es posa el signe del sumand que té el major valor absolut.
Per restar dos nombres enters se suma el primer a l'oposat del segon.
Per multiplicar dos nombres enters: Es multipliquen els valors absoluts dels factors, Si són del mateix signe es posa signe positiu si són de diferent signe es posa signe negatiu.
Per dividir dos nombres enters: Es divideixen els seus valors absoluts, Si són del mateix signe es posa signe positiu si són de diferent signe es posa signe negatiu.
Relació d'ordre Un cop definida la resta es pot definir una relació d'ordre en el conjunt dels nombres enters. Un nombre a és més gran o igual que un nombre b si és un nombre natural (un enter no negatiu).
Per exemple −3 és més gran o igual que −7 perquè que és un nombre natural. En canvi −7 no és més gran que 6 perquè que no és un nombre natural.
Extensió de la potenciació