miniatura|Una corba que talla una asímptota infinites vegades miniatura|Tractat sobre còniques, En geometria analítica, una asímptota d'una corba és una recta tal que la distància entre la corba i la recta s'aproxima a zero, quan una o les dues coordenades o tendeixen a l'infinit. Algunes fonts inclouen l'exigència que la corba no pugui creuar la línia a l'infinit, però això no és habitual entre els autors moderns."Asymptotes" by Louis A. Talman En alguns contexts, com la geometria algebraica, una asímptota es defineix com una línia que és tangent a una corba a l'infinit.
La paraula «asímptota» deriva del grec ἀσύμπτωτος (asumptōtos), que significa «no caure junts»; de ἀ (negació) + σύν (junts) + πτωτός (caiguda).Oxford English Dictionary, second edition, 1989. El terme va ser introduït per Apol·loni de Perge en el seu treball sobre seccions còniques, però en contrast amb el seu significat modern, el va utilitzar per significar qualsevol línia que no talli amb la corba donada.D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Dover (1958) p. 318
Hi ha tres tipus d'asímptotes: asímptotes horitzontals, verticals i obliqües. Per a les corbes que dona el gràfic d'una funció , una asímptota horitzontal és una línia horitzontal que la gràfica de la funció s'aproxima a quan tendeix a o . Donada una funció , existeix una asímptota horitzontal d'equació si, i només si el límit de la funció quan tendeix a l'infinit és un nombre finit : , essent un valor finit.
una asímptota vertical és una línia vertical a les quals la funció creix sense límit. Donada una funció , existeix una asímptota vertical d'equació si, i només si el límit de la funció quan tendeix a és infinit (positiu o negatiu):
una asímptota obliqua és una línia que té un pendent que no és zero sinó que és finit, de manera que la gràfica de la funció s'apropa a la mateixa manera quan tendeix a o . Les asímptotes obliqües són rectes d'equació on
Més generalment, una corba és una asímptota curvilínia d'una altra (a diferència d'una asímptota lineal) si la distància entre les dues corbes tendeix a zero quan tendeixen a l'infinit, tot i que el terme asímptota per si mateix sol estar reservat per asímptotes lineals.
Les asímptotes transmeten informació sobre el comportament de les corbes al llarg del seu domini, i la determinació de les asímptotes d'una funció és un pas important en el estudi del seu gràfic., §4.18. L'estudi de les asímptotes de funcions, interpretat en sentit ampli, forma part de l'estudi de l'anàlisi asimptòtica.
Introducció miniatura|Gràfica de la funció en coordenades cartesianes. Els eixos X i Y son asímptotes La idea que una corba pot apropar-se de forma arbitrària a una línia sense arribar tocar-la pot semblar contrarestar l'experiència quotidiana. Les representacions d'una línia i una corba com a marques en un paper o com píxels en una pantalla de l'ordinador tenen un ample positiu. Així, doncs, si estiguessin prou allargats, semblarien fusionar-se, almenys fins on l'ull pogués discernir. Però aquestes són representacions físiques de les entitats matemàtiques corresponents; la línia i la corba són idealitzacions de conceptes on l'amplada és (vegeu línia). Per tant, la comprensió de la idea d'una asímptota requereix un esforç de raó en lloc d'experiència.
Consideri la gràfica de la funció que es mostra a la dreta. Les coordenades dels punts de la corba són de la forma on és un nombre diferent a . Per exemple, la gràfica conté els punts (1, 1), (2, 0'5), (5, 0'2), (10, 0'1), … Fent els valors de cada vegada més grans, diguem 100, 1000, 10.000 …, situant-los molt a la dreta de la il·lustració, els valors corresponents de , 0'01, 0'001, 0'0001, …, es converteixen en infinitesimals relatius a l'escala mostrada. Però no importa el gran que sigui , el recíproc mai és , de manera que la corba mai tocarà l'eix X. De la mateixa manera, fent els valors de cada vegada més petits, diguem 0'01, 0'01, 0'001, …, fent-los infinitesimals relatius a l'escala mostrada, els valors corresponents de , 100, 1000, 10,000 …, són cada vegada més grans. Així, la corba s'estén cada vegada més cap amunt ja que s'apropa més a prop de l'eix Y. Així, els eixos X i Y són asímptotes de la corba. Aquestes idees formen part de la base del concepte d'un límit en matemàtiques, i aquesta connexió s'explica més a fons a continuació.Reference for section: "Asymptote" The Penny Cyclopædia vol. 2, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London p. 541
Asímptotes de funcions Les asímptotes més freqüentment trobades en l'estudi del càlcul infinitesimal són de corbes de la forma . Aquests es poden calcular utilitzant límits i classificats en asímptotes horitzontals, verticals i obliqües segons la seva orientació. Les asímptotes horitzontals són línies horitzontals d'equació que la gràfica de la funció s'aproxima quan tendeix a o . Com el seu nom indica, són paral·leles a l'eix X. Les asímptotes verticals són línies verticals d'equació (perpendiculars a l'eix X) a les quals la funció creix sense límit. Les asímptotes obliqües són línies diagonals d'equació de tal manera que la diferència entre la corba i la línia s'aproxima , ja que tendeix a o . En aquest cas es poden definir tipus més generals d'asímptotes. Només les corbes obertes que tenen una branca infinita poden tenir una asímptota. Cap corba tancada pot tenir una asímptota.
Asímptotes horitzontals miniatura|Asímptota horitzontal () de la funció Les asímptotes horitzontals són línies horitzontals que s'aproxima a la gràfica quan . La línia horitzontal és una asímptota horitzontal de la funció si o . En el primer cas, té com asímptota quan ; en el segon cas, té com asímptota quan .
Per exemple, la funció arctangent satisfà
i
Així, la línia és una tangent horitzontal per l'arctangent quan , i és una tangent horitzontal per l'arctangent quan .
Les funcions poden tenir asímptotes horitzontals en un o ambdós costats, o poden tenir una asímtota horitzontal que sigui la mateixa en ambdues direccions. Per exemple, la funció té una asímptota horitzontal en quan i perquè, respectivament,
Asímptotes verticals miniatura|Asímptotes verticals () de la funció La línia és una asímptota vertical de la gràfica de la funció si almenys una de les següents afirmacions és certa:
on és el límit quan des de l'esquerra (des de valors inferiors), i és el límit quan des de la dreta (des de valors superiors).
Per exemple, si , el numerador s'apropa a 1 i el denominador s'apropa a 0 quan . Per tant,
i la corba té una asímptota vertical, .
La funció es pot o no definir en , i el seu valor exacte al punt no afecta a l'asímptota. Per exemple, per a la funció
té un límit de quan , té la asímptota vertical , tot i que . La gràfica d'aquesta funció talla l'asímptota vertical una vegada, a (0,5). És impossible que la gràfica d'una funció talli una asímptota vertical (o una línia vertical en general) en més d'un punt. A més, si una funció és contínua en cada punt on es defineix, és impossible que la seva gràfica talli qualsevol asímptota vertical.
Un exemple comú d'una asímptota vertical és el cas d'una funció racional en un punt tal que el denominador és zero i el numerador no és zero.
Si una funció té una asímptota vertical, no és necessàriament cert que la derivada de la funció tingui una asímptota vertical al mateix lloc. Un exemple és en .
Asímptotes obliqües miniatura|Asímptota obliqua (línia blava donada per ) de la funció . L'eix Y () és una asímptota vertical Quan una asímptota lineal no és paral·lela a l'eix X o a l'eix Y, es denomina asímptota obliqua o asímptota inclinada. Una funció és asimptòtica a la recta (m ≠ 0) si
, o
En el primer cas, la línia és una asímptota obliqua de quan ; en el segon cas, la línia és una asímptota obliqua de quan .
Un exemple és , que té l'asíntota obliqua (que és m = 1, n = 0) tal com es veu en els límits
Mètodes elementals per identificar les asímptotes Les asímptotes de moltes funcions elementals es poden trobar sense l'ús explícit dels límits (encara que les derivacions d'aquests mètodes usen normalment límits).
Càlcul general d'asímptotes obliqües per a funcions L'asímptota obliqua, per a la funció , serà donada per l'equació . El valor de es calcula primer i el proporciona
on és o depenent del cas estudiat. És convenient tractar els dos casos per separat. Si aquest límit no existeix, no hi ha una asímptota obliqua en aquesta direcció.
Després d'obtenir , el valor de pot ser calculat per
on és el mateix valor d'abans. Si aquest límit no existeix, no hi ha una asímptota obliqua en aquesta direcció, encara que existeixi el límit definint . En cas contrari, és l'asímptota obliqua de quan
Per exemple, la funció té
, i
de manera que és l'asímptota de quan .
La funció té
, i
, que no existeix.
de manera que no té una asímptota quan .
Asímptotes per a funcions racionals En la representació gràfica d'una funció racional, les asímptotes, quan existeixen, tenen un paper essencial. Encara que és possible aplicar el mètode per límits descrit anteriorment, en el cas de funcions racionals, solen emprar-se tècniques algorítmiques que no requereixen de l'anàlisi matemàtic.
Una funció racional té com a màxim una asímptota horitzontal o una asímptota obliqua (inclinada), i possiblement moltes asímptotes verticals. El domini de la funció determina les asímptotes verticals. La divisió de polinomis proporciona les asímptotes horitzontals i obliqües.
Asímptotes horitzontals de funcions racionals Per a més claredat, sigui:
Si , hi ha una asímptota horitzontal d'equació . Si , hi ha una asímptota horitzontal d'equació: (el quocient dels coeficients principals). Si , no hi ha asímptota horitzontal; si el grau del numerador és exactament un més que el denominador, hi ha una asímptota obliqua, i la seva equació ve donada pel quocient de la divisió dels polinomis.
+ Els casos d'asímptotes horitzontals i obliqües per a funcions racionals Grau Asímptotes en general Exemple Asímptota per l'exemple (asímptota horitzontal) (asímptota horitzontal) el quocient de la divisió euclidiana del numerador pel denominador (asímptota oblíqua) cap No hi ha asímptota lineal, però existeix una asímptota curvilínia
Asímptotes verticals de funcions racionals Les asímptotes verticals es donen en els valors que anul·len el denominador però no el numerador. Si hi ha una arrel en comú, es compara la multiplicitat de les arrels. Exemples: La funció homogràfica té dos asímptotes: (vertical), (horitzontal) En el cas particular les asímptotes són els propis eixos cartesians: , La funció té dues asímptotes verticals: , i (però no a ).
Asímptotes obliqües de funcions racionals miniatura|Negre: la gràfica de . Vermell: l'asímpota . Verd: diferència entre la frafica i la seva asímptota per a Quan el grau del numerador d'una funció racional és exactament igual al grau del denominador +1, la funció té una asímptota obliqua (inclinada). L'asímptota és el terme polinomial després de dividir el numerador i el denominador. Aquest fenomen es produeix perquè al dividir la fracció, hi haurà un terme lineal i un residu. Per exemple, considereu la funció
que es mostra a la gràfica de la dreta. A mesura que augmenta el valor de , s'apropa a la asímptota . La raó és que l'altre terme, , s'aproxima a 0.
Si el grau del numerador és superior a 1 que el grau del denominador, i el denominador no divideix el numerador, hi haurà un residu zero que va a zero mentre augmenta , però el quocient no és lineal i la funció no té una asímptota obliqua.
Transformacions de funcions conegudes Si una funció coneguda té una asímptota (com per ), les translacions d'aquesta també tenen una asímptota. Si és una asímptota vertical de , llavors és una asímptota vertical de Si és una asímptota horitzontal de , llavors és una asímptota horitzontal de
Si una funció coneguda té una asímptota, llavors l'escalat de la funció també té una asímptota.