En física teòrica, una àlgebra de supersimetria (o àlgebra SUSY) és un formalisme matemàtic per descriure la relació entre bosons i fermions. L'àlgebra de supersimetria conté no només l'àlgebra de Poincaré i una subàlgebra compacta de simetries internes, sinó que també conté algunes supercàrregues fermiòniques, que es transformen com una suma de representacions espinorals reals del grup de Poincaré. Aquestes simetries són permeses pel teorema de Haag-Łopuszański-Sohnius. Quan Es diu que l'àlgebra té supersimetria estesa. L'àlgebra de supersimetria és una suma semidirecta d'una extensió central de l'àlgebra de super-Poincaré mitjançant una àlgebra de Lie compacta de simetries internes.
Els camps bosònics commuten mentre que els camps fermiònics s'anticommuten. Per tal de tenir una transformació que relacioni els dos tipus de camps, la introducció d'un cal una graduació sota la qual els elements parells siguin bosònics i els elements senars siguin fermiònics. Una àlgebra d'aquest tipus s'anomena superàlgebra de Lie.
De la mateixa manera que es poden tenir representacions d'una àlgebra de Lie, també es poden tenir representacions d'una superàlgebra de Lie, anomenades supermultiplets. Per a cada àlgebra de Lie, existeix un grup de Lie associat que és connex i simplement connex, únic fins a l'isomorfisme, i les representacions de l'àlgebra es poden estendre per crear representacions de grup. De la mateixa manera, les representacions d'una superàlgebra de Lie de vegades es poden estendre en representacions d'un supergrup de Lie.
Estructura d'una àlgebra de supersimetria L'àlgebra de supersimetria general per a la dimensió espai-temps , i amb la peça fermiònica que consisteix en una suma de representacions d'espinor real irreductibles, prenen la forma com un espai vectorial, on
P és una subàlgebra ideal abeliana bosònica de dimensió d, normalment identificada amb translacions de l'espai-temps. Sota la representació adjunta de la superàlgebra, hi ha la representació vectorial de L Ztambé és un ideal abelià bosònic contingut al centre de la superàlgebra, els elements del qual s'anomenen càrregues centrals. Com a representació de L, és escalar. Q és el subespai fermiònic i és una suma de N representacions espinorals reals de L. Els elements de Q s'anomenen supercàrregues. La subàlgebra (P⊕Z)⊕Q de vegades també s'anomena àlgebra de supersimetria i és nilpotent de longitud com a màxim 2, amb el suport de Lie de dues supercàrregues situat a P⊕Z.. L és una subàlgebra bosònica, isomòrfica a l'àlgebra de Lorentz d dimensions, de dimensió d(d−1)/2. B és una subàlgebra bosònica, donada per l'àlgebra de Lie d'algun grup compacte, anomenat grup de simetries internes o grup de R-simetria. Commuta amb P, Z i L (i per tant és escalar), però pot actuar de manera no trivial sobre les sobrecàrregues Q..
Els termes "bosònic" i "fermiònic" es refereixen als subespais parells i imparells de la superàlgebra.
El número és el nombre de representacions d'espín real irreductibles. Quan la signatura de l'espai-temps és divisible per 4, això és ambigu, ja que en aquest cas hi ha dues representacions diferents d'espinor real irreductible, i el nombre de vegades es substitueix per un parell d'enters .
L'àlgebra de supersimetria de vegades es considera una superàlgebra real (com s'ha esmentat anteriorment), i de vegades com una àlgebra complexa amb una conjugació hermitiana. Aquestes dues visions són essencialment equivalents, ja que l'àlgebra real es pot construir a partir de l'àlgebra complexa prenent els elements antihermitians, i l'àlgebra complexa es pot construir a partir de la real prenent el producte tensorial amb els nombres complexos.
La part bosònica de la superàlgebra és isomorfa a la suma directa de l'àlgebra de Poincaré amb l'àlgebra de simetries internes.
El subespai és una extensió central de l'àlgebra de super-Poincaré per quan és trivial, és la mateixa àlgebra de super-Poincaré.
Si s'amplia encara més l'àlgebra mitjançant la inclusió de dilatacions i transformacions conformals especials, s'obté una àlgebra superconform.
Referències
Categoria:Àlgebra Categoria:Física teòrica