En la mecànica estadística dels sistemes quàntics i la teoria quàntica de camps, les propietats d'un sistema en equilibri tèrmic es poden descriure mitjançant un objecte matemàtic anomenat estat de Kubo-Martin-Schwinger (KMS): un estat que satisfà la condició KMS.

Ryogo Kubo va introduir la condició el 1957, Paul C.Martin i Julian Schwinger la van utilitzar el 1959 per definir les funcions de Green termodinàmiques, i Rudolf Haag, Marinus Winnink i Nico Hugenholtz van utilitzar la condició el 1967 per definir estats d'equilibri i la van anomenar condició KMS.

Visió general El cas més senzill d'estudiar és el d'un espai de Hilbert de dimensió finita, en el qual no es troben complicacions com ara transicions de fase o trencament espontani de simetria. La matriu de densitat d'un estat tèrmic ve donada per

on H és l'operador hamiltonià i N és l'operador de nombre de partícules (o operador de càrrega, si volem ser més generals) i

és la funció de partició. Suposem que N commuta amb H, o en altres paraules, que el nombre de partícules es conserva.

En la imatge de Heisenberg, la matriu de densitat no canvia amb el temps, però els operadors depenen del temps. En particular, traduir un operador A per τ al futur dóna l'operador

Una combinació de translació temporal amb una "rotació" de simetria interna dóna la definició més general

Una mica de manipulació algebraica mostra que els valors esperats

per a dos operadors qualsevol A i B i qualsevol τ real (al cap i a la fi, estem treballant amb espais de Hilbert de dimensió finita). Vam utilitzar el fet que la matriu de densitat commuta amb qualsevol funció de ( H − μ N ) i que la traça és cíclica.

Com s'ha insinuat anteriorment, amb espais de Hilbert de dimensió infinita, ens trobem amb molts problemes com ara transicions de fase, trencament espontani de simetria, operadors que no són de classe traça, funcions de partició divergents, etc.

Les funcions complexes de z, convergeix a la franja complexa mentre que convergeix a la franja complexa si fem certes suposicions tècniques com ara que l'espectre de H − μ N està limitat des de baix i la seva densitat no augmenta exponencialment (vegeu la temperatura de Hagedorn). Si les funcions convergeixen, aleshores han de ser analítiques dins de la franja sobre la qual es defineixen com a les seves derivades,

i

No obstant això, encara podem definir un estat KMS com qualsevol estat que satisfaci

amb i sent funcions analítiques de z dins de les seves franges de domini.

i són els valors de la distribució de contorn de les funcions analítiques en qüestió.

Això dóna el límit termodinàmic correcte per a un volum gran i un nombre gran de partícules. Si hi ha una transició de fase o una ruptura espontània de simetria, l'estat KMS no és únic.

La matriu de densitat d'un estat KMS està relacionada amb transformacions unitàries que impliquen traduccions temporals (o traduccions temporals i una transformació de simetria interna per a potencials químics diferents de zero) mitjançant la teoria de Tomita-Takesaki.

Referències

Categoria:Mecànica quàntica