En teoria de la probabilitat i camps relacionats, el càlcul de Malliavin és un conjunt de tècniques i idees matemàtiques que amplien el camp matemàtic del càlcul de variacions des de funcions deterministes fins a processos estocàstics. En particular, permet el càlcul de derivades de variables aleatòries. El càlcul de Malliavin també s'anomena càlcul estocàstic de variacions. P. Malliavin va ser el primer a iniciar el càlcul en l'espai de dimensió infinita. Després, col·laboradors significatius com ara S. Kusuoka, D. Stroock, JM. Bismut, Shinzo Watanabe, I. Shigekawa, etc. van completar els fonaments del camp.
El càlcul de Malliavin rep el nom de Paul Malliavin, les idees del qual van conduir a una demostració que la condició de Hörmander implica l'existència i la suavitat d'una densitat per a la solució d'una equació diferencial estocàstica; la demostració original de Hörmander es basava en la teoria d'equacions diferencials parcials. El càlcul també s'ha aplicat a equacions diferencials parcials estocàstiques.
El càlcul permet la integració per parts amb variables aleatòries; aquesta operació s'utilitza en finances matemàtiques per calcular les sensibilitats dels derivats financers. El càlcul té aplicacions, per exemple, en el filtratge estocàstic.
Visió general i història Malliavin va introduir el càlcul de Malliavin per proporcionar una demostració estocàstica que la condició de Hörmander implica l'existència d'una densitat per a la solució d'una equació diferencial estocàstica; la demostració original de Hörmander es basava en la teoria d'equacions diferencials parcials. El seu càlcul va permetre a Malliavin demostrar els límits de regularitat per a la densitat de la solució. El càlcul s'ha aplicat a equacions diferencials parcials estocàstiques.
Espai de probabilitat gaussià Considereu un funcional de Wiener (un funcional de l'espai clàssic de Wiener) i considerem la tasca de trobar-ne una derivada. La idea natural seria utilitzar la derivada de Gateaux
,
tanmateix això no sempre existeix. Per tant, té sentit trobar un nou càlcul diferencial per a aquests espais limitant les direccions.
The toy model of Malliavin calculus is an irreducible Gaussian probability space . This is a (complete) probability space together with a closed subspace such that all are mean zero Gaussian variables and . If one chooses a basis for then one calls a numerical model. On the other hand, for any separable Hilbert space exists a canonical irreducible Gaussian probability space named the Segal model (named after Irving Segal) having as its Gaussian subspace. In this case for a one notates the associated random variable in as .
Properties of a Gaussian probability space that do not depend on the particular choice of basis are called intrinsic and such that do depend on the choice extrensic. We denote the countably infinite product of real spaces as .
Recordem la versió moderna del teorema de Cameron-Martin
Considereu un espai vectorial localment convex amb una mesura gaussiana cilíndrica en això. Per a un element del dual topològic defineix la distància a la mitjana
que és un mapa , i denoten el tancament en com
Deixa denota la traducció per . Aleshores respectivament l'operador de covariància indueix un espai de Hilbert del nucli reproductor anomenat espai de Cameron-Martin tal que per a qualsevol hi ha equivalència .
De fet, es pot utilitzar aquí el teorema de Feldman-Hájek per trobar que per a qualsevol altre aquesta mesura seria singular.
Sigui la mesura gaussiana canònica, transferint el teorema de Cameron-Martin de en un model numèric , el grup additiu de definirà un grup de quasi-automorfisme en . Una construcció es pot fer de la següent manera: trieu una base ortonormal a , deixem denota la traducció en per , denotem l'aplicació a l'espai de Cameron-Martin per , denoten
i
obtenim una representació canònica del grup additiu actuant sobre els endomorfismes definint
Es pot demostrar que l'acció de és extrínseca, és a dir, que no depèn de l'elecció de la base per a , més enllà per i per al generador infinitesimal de això
on és l'operador d'identitat i denota l'operador de multiplicació per la variable aleatòria (actuant sobre els endomorfismes). En el cas d'un espai de Hilbert arbitrari i el model Segal un té (i així . Aleshores, el límit anterior esdevé l'operador de multiplicació per la variable aleatòria associat a
Per a i ara es defineix la derivada direccional
Donat un espai de Hilbert i un model de Segal amb el seu espai gaussià . Ara es pot deduir per a la fórmula d'integració per parts
Principi d'invariància El principi d'invariància habitual per a la integració de Lebesgue sobre tota la recta real és que, per a qualsevol nombre real ε i funció integrable f, es compleix el següent
i per tant
Això es pot utilitzar per derivar la fórmula d'integració per parts, ja que, establint f = gh, implica
Una idea similar es pot aplicar en l'anàlisi estocàstica per a la diferenciació al llarg d'una direcció Cameron-Martin-Girsanov. De fet, deixeu sigui un procés predictible integrable al quadrat i estableixi
Si és un procés de Wiener, el teorema de Girsanov dóna el següent anàleg del principi d'invariància:
Diferenciant respecte a ε a banda i banda i avaluant a ε=0, s'obté la següent fórmula d'integració per parts:
Aquí, el costat esquerre és la derivada de Malliavin de la variable aleatòria en la direcció i la integral que apareix a la dreta s'ha d'interpretar com una integral d'Itô.
Fórmula de Clark-Ocone Un dels resultats més útils del càlcul de Malliavin és el teorema de Clark-Ocone, que permet identificar explícitament el procés del teorema de representació martingala. Una versió simplificada d'aquest teorema és la següent:
Considereu la mesura estàndard de Wiener a l'espai canònic , equipat amb la seva filtració canònica. Per a satisfactori que és Lipschitz i tal que F té un nucli derivatiu fort, en el sentit que per a en C [0,1]
llavors
on H és la projecció previsible de F'(x, (t, 1]) que es pot veure com la derivada de la funció F respecte a un desplaçament paral·lel adequat del procés X sobre la porció (t, 1] del seu domini.
Això es pot expressar de manera més concisa mitjançant
Gran part del treball en el desenvolupament formal del càlcul de Malliavin implica estendre aquest resultat a la classe més gran possible de funcionals F substituint el nucli derivatiu utilitzat anteriorment per la "derivada de Malliavin" denotada en l'enunciat anterior del resultat.
Integral de Skorokhod L'operador integral de Skorokhod, denotat convencionalment per δ, es defineix com l'adjunt de la derivada de Malliavin en el cas del soroll blanc quan l'espai de Hilbert és un espai L²; així doncs, per a un element u del domini de l'operador —el qual és un subconjunt de L²([0, ∞) × Ω)— i per a un element F del domini de la derivada de Malliavin, es requereix
on el producte intern és el de , és a dir.
L'existència d'aquest adjunt es desprèn del teorema de representació de Riesz per a operadors lineals en espais de Hilbert.
Es pot demostrar que si u està adaptat, aleshores
on la integral s'ha d'entendre en el sentit d'Itô. Així, això proporciona un mètode per estendre la integral d'Itô a integrands no adaptats.
Aplicacions El càlcul permet la integració per parts amb variables aleatòries; aquesta operació s'utilitza en finances matemàtiques per calcular les sensibilitats dels derivats financers. El càlcul té aplicacions, per exemple, en el filtratge estocàstic.
Referències
Categoria:Càlcul Categoria:Probabilitat