En teoria de la probabilitat, el teorema d'Isserlis o teorema de la probabilitat de Wick és una fórmula que permet calcular els moments d'ordre superior de la distribució normal multivariant en termes de la seva matriu de covariància. Rep el nom de Leon Isserlis.

Aquest teorema també és particularment important en física de partícules, on es coneix com a teorema de Wick pel treball de . Altres aplicacions inclouen l'anàlisi dels rendiments de les carteres, la teoria quàntica de camps i la generació de soroll acolorit.

Declaració Si és un vector aleatori normal multivariant de mitjana zero, aleshores on la suma és sobre tots els aparellaments de , és a dir, totes les maneres diferents de particionar en parelles , i el producte és superior als parells continguts a

Més generalment, si és un vector aleatori normal multivariant amb valors complexos i mitjana zero, la fórmula encara es compleix.

L'expressió de la dreta també es coneix com a hafniana de la matriu de covariància de .

Cas estrany Si és estrany, no existeix cap parella de Sota aquesta hipòtesi, el teorema d'Isserlis implica que Això també es desprèn del fet que té la mateixa distribució que , la qual cosa implica que .

Cas parell En el seu article original, Leon Isserlis demostra aquest teorema per inducció matemàtica, generalitzant la fórmula per a la moments de 4t ordre, que pren l'aparença

Si és parell, existeixen (vegeu factorial doble) particions per parells de : això produeix termes de la suma. Per exemple, per a moments d'ordre (és a dir, variables aleatòries) hi ha tres termes. Per a -moments d'ordre que hi ha termes, i per a -moments d'ordre que hi ha termes.

Exemple Podem avaluar la funció característica de les gaussianes mitjançant el teorema d'Isserlis:

Prova Com que ambdós costats de la fórmula són multilineals en , si podem demostrar el cas real, obtenim el cas complex de franc.

Sigui la matriu de covariància, de manera que tenim el vector aleatori normal multivariant de mitjana zero Com que ambdós costats de la fórmula són continus respecte a , n'hi ha prou per demostrar el cas quan és invertible. En particular, això significa que si alguns de són idèntics, com ara en , aleshores es redueix al cas on totes les variables són linealment independents, com en .

Ús de la factorització quadràtica , obtenim

Diferenciar sota el signe integral amb obtenir És a dir, només necessitem trobar el coeficient del terme en l'expansió de Taylor de Com que la quantitat és parell , si és senar, això és zero. Per tant, siguem , aleshores només necessitem trobar el coeficient del terme en el polinomi .

Combinatòriament, cada aparellament de correspon a una manera d'obtenir , triant-ne un de cada parèntesi per a cada Hi ha maneres de triar d'aquesta manera, cancel·lant el terme.

Generalitzacions Integració gaussiana per parts Una formulació equivalent de la fórmula de probabilitat de Wick és la integració gaussiana per parts. Si és un vector aleatori normal multivariant de mitjana zero, aleshores

Aquesta és una generalització del lema de Stein.

La fórmula de probabilitat de Wick es pot recuperar per inducció, considerant la funció definit per Entre altres coses, aquesta formulació és important en la teoria de camps conformes de Liouville per obtenir identitats de Ward conformes, equacions BPZ i per demostrar la fórmula de Fyodorov-Bouchaud.

Variables aleatòries no gaussianes Per a variables aleatòries no gaussianes, la fórmula dels moments-cumulants substitueix la fórmula de probabilitat de Wick. Si és un vector de variables aleatòries, aleshores on la suma és sobre totes les particions de , el producte està per sobre dels blocs de i és el cumulant conjunt de .

Distribució uniforme a l'esfera unitària Considera uniformement distribuït sobre l'esfera unitària , de manera que gairebé amb tota seguretat. En aquest context, es compleix el següent.

Si és estrany, Si és parell, on és el conjunt de tots els aparellaments de , és el delta de Kronecker.

Ja que hi ha termes delta, obtenim a la diagonal: Aquí, denota el factorial doble.

Aquests resultats es discuteixen en el context de vectors aleatoris i representacions irreductibles en el treball de Kushkuley (2021).

Referències

Categoria:Probabilitat