miniatura|Demostració geomètrica del teorema de Pitàgores: El teorema de Pitàgores o teorema de Pitàgoras, en el seu enunciat habitual, estableix que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets (els costats que formen l'angle recte) és igual al quadrat de la hipotenusa (l'altre costat).Proposició 47 del llibre I dels Elements d'Euclides.
El recíproc també es compleix, és a dir: en un triangle, si la suma dels quadrats de les longituds dels costats més curts és igual al quadrat de la longitud del costat més llarg, llavors l'angle comprès entre els dos costats més curts és un angle recte.Proposició 48 del llibre I dels Elements d'Euclides.
El teorema es pot escriure com una equació que relaciona les longituds dels costats a, b, i c, sovint anomenada lequació de Pitàgores:
on c representa la longitud de la hipotenusa, i a i b representen les longituds dels altres dos costats.
El teorema de Pitàgores deu el nom al matemàtic grec Pitàgores, al que segons la tradició se li atribueix el seu descobriment i la demostració, encara que sovint s'argumenta que el coneixement del teorema era ja anterior. Hi ha proves que els matemàtics babilonis coneixien la fórmula, encara que ens ha arribat molt poca informació sobre l'ús que en feien.. Per a un punt de vista alternatiu vegeu , on l'especulació es basa en el fet que en la primera columna de la tauleta 322 de la col·lecció Plimpton es troba el suport al coneixement de Babilònia d'alguns elements de la trigonometria. Aquesta noció és gairebé rebutjada per Vegeu també . Sota el coneixement que es té en l'actualitat s'accepta que els babilonis no tenien consciència de les funcions trigonomètriques. Vegeu §2, pàg. 7.
El teorema es refereix tant a les àrees com a les longituds, o pot dir-se que a les dues àrees i a les interpretacions mètriques. Algunes demostracions del teorema es basen en una interpretació, algunes sobre l'altra, utilitzant tècniques algebraiques i geomètriques. El teorema pot ser generalitzat de diverses maneres, incloent espais de dimensió superior, als espais no euclidians, als objectes que no són triangles rectangles i, de fet, als objectes que no són en tots els triangles, però són n-dimensionals sòlids. El teorema de Pitàgores ha despertat l'interès fora de les matemàtiques com un símbol de l'hermetisme de les matemàtiques, de la mística, o el poder intel·lectual; referències en la literatura popular, obres de teatre, abunden els musicals, cançons, segells i en els dibuixos animats.
Història Orígens miniatura|La tauleta Plimpton 322.
Els rastres més antics de la relació entre les longituds dels costats d'un triangle rectangle, un matemàtic considerà erròniament que es troben en la inscripció de ternes pitagòriques. Es tracta de ternes de nombres naturals que satisfan la relació , referint-se a tauletes babilònies, sobretot a la tauleta Plimpton 322 datada del XVIII aC, o sigui més de 1000 anys abans de Pitàgores. Alguns pretenen fins i tot trobar-ne a megàlits datats del segle XXV aC a la Gran Bretanya.El matemàtic Bartel van der Waerden i l'enginyer Alexander Thom haurien descobert triplets pitagòrics sobre llocs megalítics a la Gran Bretanya i a Carnac, però les seves anàlisis són discutides per Kaveing i Keller
Entre aquests triplets, el més petit és 3-4-5. Correspon a les dimensions d'un triangle rectangle del qual Plutarc conjectura una interpretació simbòlica des de l'antic Egipte.Vegeu el text de Plutarc i els treballs de Jean Philippe Lauer relatats a La geometria egípcia de Théophile Obenga. Aquest triangle es pot formar amb l'ajuda d'una corda de tretze nusos que romandria una de les eines dels geòmetres fins al final de l'edat mitjana.André Demailly atribueix ja aquesta competència als agrimensors egipcis en Herbert Simon i les ciències de disseny . És fins i tot així com Thomas Henri Martin imagina la difusió d'aquest saber als grecs i als Xinesos en Els signes numerals als pobles de l'Antiguitat i de l'Edat Mitjana
Però d'una banda, la utilització d'aquesta corda amb nusos no indica per força el coneixement del fet que l'angle format és matemàticament un angle recte; d'altra banda l'inventari de triplets pitagòrics ha pogut ser trobat en un marc aritmètic fora del context geomètric. Finalment, perquè la conjectura s'erigeixi en teorema, cal que la relació sigui demostrada, i no només en alguns casos particulars.
Formulacions El teorema, acompanyat d'una demostració, apareix al començament del segle III en els Elements d'Euclides (proposició XLVII) amb la següent forma:
«En els triangles rectangles el quadrat del costat oposat a l'angle recte és igual a la suma dels quadrats dels costats que comprenen a l'angle recte.»
El seu recíproc és la proposició XLVIII: «Si en un triangle el quadrat d'un dels costats és igual a la suma dels quadrats dels dos costats restants, aleshores l'angle comprès pels dos costats restants del triangle és recte.»
miniatura|alt=Fotografia d'un bust de Pitàgores|Pitàgores Els comentaris de Procle (al voltant de l'any 400) semblen indicar que Euclides no hauria fet més que transcriure una demostració més antiga que Procle atribueix a Pitàgores. Tanmateix, les proves històriques de la vida de Pitàgores són tan rares que no se li pot atribuir amb certesa la paternitat d'aquesta demostració.
Paral·lelament al desenvolupament de les matemàtiques gregues, el teorema apareix a la Xina en el Zhoubi suanjing («El Gnòmon dels Zhou»), una de les obres matemàtiques xineses més antigues. Aquest últim, escrit probablement durant la dinastia Han (-206 a 220), reagrupa tècniques de càlcul que daten de la dinastia Zhou segle X aC al 256 aC. El teorema o procediment s'hi enuncia de la manera següent:
«Reunint l'àrea (mi) de la base (gou) i l'àrea de l'alçada (gu) s'engendra l'àrea de la hipotenusa.»
Però la qüestió és saber si aquest teorema o procediment és proveït o no d'una demostració. Sobre aquest punt hi ha divisió d'opinions. El teorema, sota el nom de Gougu (a partir de les paraules «base» i «altitud»), és reprès en el Jiuzhang suanshu (Els nou capítols de les arts matemàtiques (九章算术) -100 a 50), amb una demostració, utilitzant una partició i una reconstitució, que no s'assembla en res a la d'Euclides i que prova l'originalitat del camí xinès.
A l'Índia, cap al 300 aC, es troba el rastre d'una demostració numèrica de la propietat (prova efectuada sobre nombres particulars però que es pot generalitzar fàcilment).
Més tard se n'han inventat moltes altres, utilitzant eines matemàtiques variades. Leonardo da Vinci i fins i tot el president americà James Garfield n'han proposat. Potser la més interessant, per les seves implicacions, sigui la taula de dissecció proposada per Henry Perigal (1830) que no deixa de ser un cas particular del tessel·lat pitagòric.
Conseqüències El teorema de Pitàgores podria haver estat a l'origen de la noció de grandàries incommensurables, premissa dels nombres irracionals. En efecte, tot i que la incommensurabilitat del costat i de la diagonal del quadrat es pot tanmateix demostrar sense recórrer al teorema de Pitàgores, aquest demostra que un quadrat el costat del qual serveix d'unitat té una diagonal amb una longitud el quadrat de la qual val 2. Ara bé, cap fracció de nombres naturals no té quadrat igual a 2. La construcció geomètrica d'una relació «privada de raó» anava en contra de la visió del món de l'escola pitagòrica.Entrada «Irracional» § b a
miniatura|upright=0.5|alt=Retrat de Pierre de Fermat, pintat al .|Pierre de Fermat, inspirat pel problema dels triplets pitagòrics.
La recerca exhaustiva dels triplets pitagòrics, motivada per la construcció de triangles rectangles les longituds dels costat dels quals són commensurables, s'ha constituït plenament en un problema aritmètic. Obre la porta a la recerca de triplets que satisfan una equació més general: , on l'exponent és un enter superior a 2. L'absència de solució quan l'exponent és superior o igual a 3 és la conjectura de Fermat, que no va ser definitivament demostrada fins a més de tres segles més tard per Andrew Wiles.
Finalment, s'ha demostrat que el teorema de Pitàgores és equivalent a l'axioma de les paral·leles.(en anglès)
Validació física En derivar-se el teorema de Pitàgores dels axiomes de la geometria euclidiana, la seva validesa al món real s'ha pogut posar en qüestió amb el caràcter no euclidià de l'espai físic. El matemàtic Carl Friedrich Gauss va considerar aquesta hipòtesi prop d'un segle abans del naixement de la teoria de la relativitat general, segons una llegenda.Vegeu Renaixement de la geometria no euclidiana entre 1860 i 1900, per Jean-Daniel Voelke, pàgina 40 i següents; Gauss declara explícitament que només mesures sobre distàncies «immensament superiors al radi de la Terra» permetrien tal comprovació. Hauria mesurat els angles d'un triangle format per tres ciutats de la regió de Hannover per tal de verificar si la suma dels seus angles constituïa efectivament un angle pla.
Altres formes Com s'assenyala en la introducció, si c denota la longitud de la hipotenusa i a i b denoten les longituds dels altres dos costats, el teorema de Pitàgores es pot expressar com l'equació de Pitàgores:
Si la longitud de a i b són conegudes, llavors c es pot calcular de la següent manera:
Si la longitud de c i una cama (a o b) són coneguts, la longitud de l'altra cama es pot calcular amb les següents equacions:
o
L'equació de Pitàgores estableix una relació simple entre els tres costats d'un triangle rectangle de manera que, si es coneix la longitud de qualsevol dels dos costats, llavors es pot trobar la longitud del tercer costat. Una generalització d'aquest teorema és la llei dels cosinus, que permet el càlcul de la longitud del tercer costat de qualsevol triangle, tenint en compte les longituds de dos costats i la mida de l'angle entre ells. Si l'angle entre els costats és un angle recte, el teorema del cosinus es redueix a l'equació de Pitàgores.
Demostracions Aquest teorema pot arribar a tenir més demostracions conegudes que qualsevol altre (la llei de reciprocitat quadràtica pot ser un altre candidat per a aquesta distinció). El llibre del matemàtic i enginyer nord-americà Elisha Scott Loomis (1852-1940) The Pythagorean Proposition (La proposició de Pitàgores, 1927, edició ampliada el 1940) recull i classifica 371 demostracions.. Va ser reeditat el 1968 pel National Council of Teachers of Mathematics americà. Existeix on-line una versió en baixa resolució al Education Resources Information Center, [http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED037335.pdf.
Per sostracció d'àrees d'un mateix quadrat miniatura|Triangle rectangle miniatura|Demostració del Teorema de Pitàgores Suposant el triangle de catets a i b (formant un angle recte) i la hipotenusa c, es tracta de demostrar que l'àrea del quadrat de costat c és igual a la suma de les àrees dels quadrats de costat a i costat b.
Si s'afegeixen tres triangles iguals a l'original al voltant del quadrat de costat c formant la figura mostrada en la imatge, s'obté un quadrat. En efecte, si la figura central de costat c primerament dibuixada és un quadrat, els seus costats formaran angles rectes; llavors, si es gira el triangle original 90 graus al voltant del centre del quadrat, vindrà a ocupar un posició perpendicular a l'original, de mode tal que el costat a serà col·lineal al costat b i viceversa, formant-se un quadrat de costat .
L'àrea d'aquest quadrat pot expressar-se de dues maneres: El quadrat del costat:
Suma del quadrat original i els triangles afegits:
Igualant ambdues expressions:
equació que expressa la igualtat d'àrees dels dos quadrats del dibuix de la dreta. Sostraient de tots dos l'àrea dels quatre triangles resulta: , com volíem demostrar.
Demostració atribuïda a Pitàgores Aquesta prova és la traducció, en llenguatge matemàtic actual, de la ideada pel mateix Pitàgores que va emprar la figura següent: