miniatura|Paràbola semicúbica per a diversos valors del paràmetre a En matemàtiques, una paràbola cúbica o semicúbica és una corba plana algebraica que té una equació implícita de la forma (on ) en algun sistema de coordenades cartesianes.

Resolent per porta a la forma explícita la qual cosa implica que cada punt real satisfà L'exponent explica el terme paràbola semicúbica. (Una paràbola es pot descriure mitjançant l'equació ).

Resolent l'equació implícita per a s'obté una segona forma explícita

L'⁣equació paramètrica també es pot deduir de l'equació implícita posant

Les paràboles semicúbiques tenen una singularitat cuspidal; d'aquí el nom de cúbica cuspidal.

La longitud d'arc de la corba va ser calculada pel matemàtic anglès William Neile i publicada el 1657 (vegeu la secció Història).

Propietats de les paràboles semicúbiques Similitud Qualsevol paràbola semicúbica és similar a la paràbola unitària semicúbica

Prova: La similitud (escala uniforme) mapa la paràbola semicúbica a la corba amb

Singularitat La representació paramètrica és regular excepte en el punt En aquest punt la corba té una singularitat (cúspide). La demostració es desprèn del vector tangent per a aquest vector té longitud zero. miniatura|Tangent a una paràbola semicúbica

Tangents Diferenciació de la paràbola unitària semicúbica un arriba al punt de la branca superior l'equació de la tangent:

Aquesta tangent interseca la branca inferior exactament en un altre punt amb coordenades

(Per demostrar aquesta afirmació s'hauria d'utilitzar el fet que la tangent talla la corba a dues vegades.)

Longitud d'arc Determinació de la longitud d'arc d'una corba cal resoldre la integral Per a la paràbola semicúbica s'aconsegueix

(La integral es pot resoldre mitjançant la substitució

Exemple: Per (paràbola unitària semicúbica) i que significa la longitud de l'arc entre l'origen i el punt (4,8), s'obté la longitud d'arc de 9.073.

Evoluta de la paràbola unitària L'⁣evoluta de la paràbola és una paràbola semicúbica desplaçada 1/2 al llarg de l'eix x :

Coordenades polars Per obtenir la representació de la paràbola semicúbica en coordenades polars, es determina el punt d'intersecció de la recta amb la corba. Per a hi ha un punt diferent de l'origen: Aquest punt té distància des de l'origen. Amb i (vegeu Llista d'identitats) s'obté

miniatura|320x320px|Relació entre una paràbola semicúbica i una funció cúbica (verd)

Relació entre una paràbola semicúbica i una funció cúbica Mapatge de la paràbola semicúbica pel mapa projectiu perspectivat involutiu amb eix i centre (0, -1) dona per tant, la funció cúbica La cúspide (origen) de la paràbola semicúbica s'intercanvia amb el punt a l'infinit de l'eix y.

Aquesta propietat també es pot deduir si es representa la paràbola semicúbica mitjançant coordenades homogènies⁣: A l'equació (A), la substitució (la recta a l'infinit té l'equació i la multiplicació per es realitza. S'obté l'equació de la corba

en coordenades homogènies :

Seleccionant com a línia a l'infinit i introduint dona la corba (afí)

Corba isòcrona Una propietat definidora addicional de la paràbola semicúbica és que és una corba isòcrona, és a dir, que una partícula que segueix el seu camí mentre és atreta cap avall per la gravetat recorre intervals verticals iguals en períodes de temps iguals. D'aquesta manera, està relacionada amb la corba tautòcrona, per a la qual les partícules en diferents punts de partida sempre triguen el mateix temps a arribar al fons, i la corba braquistòcrona, la corba que minimitza el temps que triga una partícula que cau a viatjar des del seu inici fins al seu final.

Història La paràbola semicúbica va ser descoberta el 1657 per William Neile, ⁣que va calcular la seva longitud d'arc. Tot i que les longituds d'algunes altres corbes no algebraiques, com ara l'espiral logarítmica i la cicloide, ⁣ja havien estat calculades (és a dir, aquestes corbes havien estat rectificades), la paràbola semicúbica va ser la primera corba algebraica (excloent la recta i el cercle) que es va rectificar.

[ disputat (per: Sembla que la paràbola i altres seccions còniques s'han rectificat fa molt de temps) – discutir ]

La longitud de la paràbola semicúbica va ser calculada per van Heuraet el 1659.

Referències

Bibliografia August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten, 1875, dissertació Clifford A. Pickover: La longitud de la paràbola semicubical de Neile

Enllaços externs

Categoria:Articles amb traduccions sense revisar Categoria:Corbes