En geometria, una corba hessiana és una corba plana cúbica similar al foli de Descartes que pertany al llapis de Hesse. Rep el nom del matemàtic alemany Otto Hesse. En coordenades projectives, l'equació projectiva d'una corba hessiana ésPer a cada corba plana cúbica no singular hi ha un canvi de coordenades projectives que transforma l'equació de la corba a la forma hessiana anterior.
Aquestes corbes s'utilitzen en criptografia de corbes el·líptiques, perquè l'aritmètica en aquesta representació de corbes és més ràpida i necessita menys memòria que l'aritmètica en la forma estàndard de Weierstrass.Cauchy-Desbove's Formulae: Hessian-elliptic Curves and Side-Channel Attacks, Marc Joye and Jean-Jacques Quisquarter
Definició miniatura|300x300px|Una corba hessiana de l'equació Deixa sigui un cos i consideri una corba el·líptica en el següent cas especial de la forma de Weierstrass sobre : on la corba té discriminant Aleshores el punt té l'ordre 3.
Per demostrar que té ordre 3, tingueu en compte que la tangent a a és la línia que interseca amb multiplicitat 3 a .
En canvi, donat un punt d'ordre 3 en una corba el·líptica ambdós definits sobre un camp es pot posar la corba en forma de Weierstrass amb de manera que la tangent a és la línia . Aleshores, l'equació de la corba és amb .
Per obtenir la corba hessiana, cal fer la següent transformació:
Primer lloguer denota una arrel del polinomi Aleshores
Tingueu en compte que si té un camp finit d'ordre , aleshores cada element de té una única arrel cúbica; en general, es troba en un cos d'extensió de K.
Ara definint el següent valor s'obté una altra corba, C, que és birracionalment equivalent a E:
que s'anomena forma hessiana cúbica (en coordenades projectives)en el pla afí (satisfent i ).
A més, (altrament, la corba seria singular).
Partint de la corba hessiana, una equació de Weierstrass biracionalment equivalent ve donada per sota les transformacions: i on: i
Llei de grup És interessant analitzar la llei de grup de la corba el·líptica, definint les fórmules de suma i duplicació (perquè els atacs SPA i DPA es basen en el temps d'execució d'aquestes operacions). A més, en aquest cas, només necessitem utilitzar el mateix procediment per calcular la suma, la duplicació o la resta de punts per obtenir resultats eficients, tal com s'ha dit anteriorment. En general, la llei de grup es defineix de la manera següent: si tres punts es troben a la mateixa línia, sumen zero. Per tant, per aquesta propietat, les lleis de grup són diferents per a cada corba.
En aquest cas, la manera correcta és utilitzar les fórmules de Cauchy-Desboves, obtenint el punt a l'infinit , és a dir, l'element neutre (l'invers de és de nou). Sigui un punt de la corba. La recta conté el punt i el punt a l'infinit . Per tant, és el tercer punt de la intersecció d'aquesta recta amb la corba. En intersectar la corba el·líptica amb la recta, s'obté la següent condició
Des de és diferent de zero ( és diferent d'1), la coordenada de és la coordenada de és és a dir, o en coordenades projectives
En algunes aplicacions de criptografia de corbes el·líptiques i el mètode de factorització de corbes el·líptiques (ECM) cal calcular les multiplicacions escalars de , per exemple per a algun enter , i es basen en el mètode de doble i suma; aquestes operacions necessiten les fórmules de suma i duplicació.
Duplicació Ara, si és un punt de la corba el·líptica, és possible definir una operació de "duplicació" utilitzant les fórmules de Cauchy-Desboves:
Addició De la mateixa manera, per a dos punts diferents, diguem i , és possible definir la fórmula de la suma. Sigui la suma d'aquests punts, , i les seves coordenades vénen donades per:
Algoritmes i exemples Hi ha un algorisme que es pot utilitzar per sumar dos punts diferents o per duplicar; és el donat per Joye i Quisquater. Aleshores, el següent resultat dóna la possibilitat d'obtenir l'operació de duplicació mitjançant la suma:
Proposició. Sigui un punt d'una corba el·líptica hessiana . Aleshores:A més, tenim .
Finalment, al contrari que altres parametritzacions, no hi ha cap subtracció per calcular la negació d'un punt. Per tant, aquest algorisme de suma també es pot utilitzar per restar dos punts i en una corba el·líptica hessiana:
En resum, adaptant l'ordre de les entrades segons l'equació (2) o (3), l'algoritme de suma presentat anteriorment es pot utilitzar indistintament per a: Sumar 2 punts (dif.), Duplicar un punt i Restar 2 punts amb només 12 multiplicacions i 7 variables auxiliars, incloent-hi les 3 variables de resultat. Abans de la invenció de les corbes d'Edwards, aquests resultats representen el mètode més ràpid conegut per implementar la multiplicació escalar de corbes el·líptiques contra els atacs de canal lateral.
Per a alguns algoritmes no cal protecció contra atacs de canal lateral. Per tant, per a aquests duplicats pot ser més ràpid. Com que hi ha molts algoritmes, aquí només es donen els millors per a les fórmules de suma i duplicat, amb un exemple per a cadascun:
Addició Siguin i dos punts diferents de . Si suposem que , l'algoritme ve donat per:
El cost necessari és de 8 multiplicacions i 3 sumes, el cost de readdició és de 7 multiplicacions i 3 sumes, depenent del primer punt.
Exemple
Donats els següents punts de la corba per a i , aleshores si tenim:
Aleshores:
Duplicació Sigui sigui un punt, aleshores la fórmula de duplicació ve donada per:
El cost d'aquest algorisme és tres multiplicacions + tres quadrats + 11 sumes + 3 × 2.
Coordenades esteses Hi ha un altre sistema de coordenades amb el qual es pot representar una corba hessiana; aquestes noves coordenades s'anomenen coordenades esteses. Poden accelerar la suma i la duplicació. Per obtenir més informació sobre les operacions amb les coordenades esteses, vegeu:
http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-hessian-extended.html#addition-add-20080225-hwcd
i es representen per satisfent les equacions següents:
Referències
Categoria:Criptografia