El principi d'indiferència (també anomenat principi de raó insuficient) és una regla per assignar probabilitats epistèmiques. El principi d'indiferència estableix que, en absència de qualsevol evidència rellevant, els agents han de distribuir la seva credibilitat (o "graus de creença") equitativament entre tots els possibles resultats considerats. Es pot veure com una aplicació del principi de parsimònia i com un cas especial del principi de màxima entropia. En la probabilitat bayesiana, aquesta és la probabilitat a priori no informativa més simple.
Exemples Els exemples de llibre de text per a l'aplicació del principi d'indiferència són les monedes, els daus i les cartes.
Monedes Una moneda simètrica té dues cares, etiquetades arbitràriament amb cara (moltes monedes tenen el cap d'una persona representat en una cara) i creu. Suposant que la moneda ha de caure en una cara o en l'altra, els resultats del llançament d'una moneda són mútuament excloents, exhaustius i intercanviables. Segons el principi d'indiferència, assignem a cadascun dels possibles resultats una probabilitat d'1/2.
En aquesta anàlisi queda implícit que les forces que actuen sobre la moneda no es coneixen amb precisió. Si l'impuls impartit a la moneda quan es llança fos conegut amb prou precisió, el vol de la moneda es podria predir segons les lleis de la mecànica. Així, la incertesa en el resultat del llançament d'una moneda es deriva (en la seva major part) de la incertesa respecte a les condicions inicials. Aquest punt es tracta amb més detall a l'article sobre el llançament de monedes.
Daus Un dau simètric té n cares, etiquetades arbitràriament d'1 a n. Un dau cúbic ordinari té n = 6 cares, tot i que es pot construir un dau simètric amb diferents nombres de cares; vegeu Daus. Suposem que el dau aterrarà amb una cara o una altra cap amunt, i no hi ha altres resultats possibles. Aplicant el principi d'indiferència, assignem a cadascun dels resultats possibles una probabilitat d'1/ n. Igual que amb les monedes, se suposa que les condicions inicials de llançar el dau no es coneixen amb prou precisió per predir el resultat segons les lleis de la mecànica. Els daus es llancen normalment de manera que rebotin sobre una taula o altres superfícies. Aquesta interacció fa que la predicció del resultat sigui molt més difícil.
La suposició de simetria és crucial aquí. Suposem que se'ns demana que apostem a favor o en contra del resultat "6". Podríem raonar que hi ha dos resultats rellevants aquí "6" o "no 6", i que aquests són mútuament excloents i exhaustius. Una fal·làcia comuna és assignar la probabilitat 1/2 a cadascun dels dos resultats, quan "no 6" és cinc vegades més probable que "6".
Cartes Una baralla estàndard conté 52 cartes, cadascuna amb una etiqueta única de manera arbitrària, és a dir, ordenada arbitràriament. Agafem una carta de la baralla; aplicant el principi d'indiferència, assignem a cadascun dels possibles resultats una probabilitat d'1/52.
Crítica L'exemple de la baralla de cartes, més que els altres, mostra la dificultat d'aplicar realment el principi d'indiferència en situacions reals. El que realment volem dir amb la frase "ordenat arbitràriament" és simplement que no tenim cap informació que ens porti a afavorir una carta en particular. A la pràctica real, això rarament passa: una nova baralla de cartes certament no està en ordre arbitrari, i tampoc ho està una baralla immediatament després d'una mà de cartes. A la pràctica, per tant, barregem les cartes; això no destrueix la informació que tenim, sinó que (amb sort) fa que la nostra informació sigui pràcticament inutilitzable, tot i que encara és utilitzable en principi. De fet, alguns jugadors experts de blackjack poden rastrejar els asos a través de la baralla; per a ells, la condició per aplicar el principi d'indiferència no es compleix.
En un sistema macroscòpic, si més no, s'ha de suposar que les lleis físiques que governen el sistema no es coneixen prou bé per predir-ne el resultat. Com va observar fa uns segles John Arbuthnot (al prefaci de *Of the Laws of Chance*, 1692),
És impossible que un dau, amb una força i una direcció tan determinades, no caigui en un costat tan determinat, només que desconec la força i la direcció que el fan caure en un costat tan determinat, i per això ho anomeno Atzar, que no és res més que la manca d'art...
Aplicació a variables contínues Aplicar incorrectament el principi d'indiferència pot conduir fàcilment a resultats absurds, especialment en el cas de variables contínues multivariants. Un cas típic de mal ús és el següent exemple:
Suposem que hi ha un cub amagat en una caixa. Una etiqueta a la caixa diu que el cub té una longitud de costat entre 3 i 5 cm. No sabem la longitud real del costat, però podríem suposar que tots els valors són igualment probables i simplement triar el valor mitjà de 4 cm. La informació de l'etiqueta ens permet calcular que la superfície del cub està entre 54 i 150 cm². No coneixem la superfície real, però podríem suposar que tots els valors són igualment probables i simplement triar el valor mitjà de 10² cm². La informació de l'etiqueta ens permet calcular que el volum del cub està entre 27 i 125 cm³. No coneixem el volum real, però podríem suposar que tots els valors són igualment probables i simplement triar el valor mitjà de 76 cm³. No obstant això, ara hem arribat a la conclusió impossible que el cub té una longitud de costat de 4 cm, una superfície de 102 cm² i un volum de 76 cm3 !
En aquest exemple, les estimacions mútuament contradictòries de la longitud, la superfície i el volum del cub sorgeixen perquè hem assumit tres distribucions mútuament contradictòries per a aquests paràmetres: una distribució uniforme per a qualsevol de les variables implica una distribució no uniforme per a les altres dues. En general, el principi d'indiferència no indica quina variable (per exemple, en aquest cas, la longitud, la superfície o el volum) ha de tenir una distribució de probabilitat epistèmica uniforme.
Un altre exemple clàssic d'aquest tipus d'ús indegut és la paradoxa de Bertrand. Edwin T. Jaynes va introduir el principi dels grups de transformació, que pot donar lloc a una distribució de probabilitat epistèmica per a aquest problema. Això generalitza el principi d'indiferència, dient que hom és indiferent entre problemes equivalents en lloc d'indiferent entre proposicions. Això encara es redueix al principi ordinari d'indiferència quan es considera una permutació de les etiquetes com a generadora de problemes equivalents (és a dir, utilitzant el grup de transformació de permutació). Per aplicar això a l'exemple de caixa anterior, tenim tres variables aleatòries relacionades per equacions geomètriques. Si no tenim cap raó per afavorir un trio de valors sobre un altre, les nostres probabilitats prèvies han d'estar relacionades per la regla per canviar variables en distribucions contínues. Sigui L la longitud i V el volum. Aleshores hem de tenir
,
on són les funcions de densitat de probabilitat (pdf) de les variables indicades. Aquesta equació té una solució general: , on K és una constant de normalització, determinada pel rang de L, en aquest cas igual a:
Per posar això "a prova", demanem la probabilitat que la longitud sigui menor que 4. Això té una probabilitat de:
Per al volum, això hauria de ser igual a la probabilitat que el volum sigui inferior a 43 = 64. La funció de debilitat del volum és
I aleshores la probabilitat que el volum sigui inferior a 64 és
Així doncs, hem aconseguit invariància respecte al volum i la longitud. També es pot demostrar la mateixa invariància respecte a una superfície inferior a 6(4²) = 96. Tanmateix, cal tenir en compte que aquesta assignació de probabilitat no és necessàriament "correcta". Per a la distribució exacta de longituds, el volum o la superfície dependrà de com es dugui a terme l'"experiment".
La hipòtesi fonamental de la física estadística, que dos microestats qualssevol d'un sistema amb la mateixa energia total són igualment probables en equilibri, és en cert sentit un exemple del principi d'indiferència. Tanmateix, quan els microestats es descriuen mitjançant variables contínues (com ara posicions i moments), es necessita una base física addicional per explicar sota quina parametrització la densitat de probabilitat serà uniforme. El teorema de Liouville justifica l'ús de variables canònicament conjugades, com ara posicions i els seus moments conjugats.
La paradoxa del vi/aigua mostra un dilema amb variables vinculades i quina triar.
Història Aquest principi prové del principi d'Epicur de les "explicacions múltiples" (pleonachos tropos), segons el qual "si més d'una teoria és coherent amb les dades, conserva-les totes". L'epicuri Lucreci va desenvolupar aquest punt amb una analogia de les múltiples causes de mort d'un cadàver. Els autors originals de la probabilitat, principalment Jacob Bernoulli i Pierre Simon Laplace, consideraven que el principi d'indiferència era intuïtivament obvi i ni tan sols es van molestar a donar-li un nom. Laplace va escriure:
La teoria de l'atzar consisteix a reduir tots els esdeveniments del mateix tipus a un cert nombre de casos igualment possibles, és a dir, a aquells sobre els quals podem estar igualment indecisos pel que fa a la seva existència, i a determinar el nombre de casos favorables a l'esdeveniment la probabilitat del qual es busca. La relació entre aquest nombre i el de tots els casos possibles és la mesura d'aquesta probabilitat, que és, per tant, simplement una fracció el numerador de la qual és el nombre de casos favorables i el denominador de la qual és el nombre de tots els casos possibles.
Aquests primers escriptors, Laplace en particular, van generalitzar ingènuament el principi d'indiferència al cas de paràmetres continus, donant l'anomenada "distribució de probabilitat uniforme a priori", una funció que és constant sobre tots els nombres reals. Va utilitzar aquesta funció per expressar una completa manca de coneixement sobre el valor d'un paràmetre. Segons Stigler (pàgina 135), la suposició de Laplace de probabilitats uniformes a priori no era una suposició metafísica. Era una suposició implícita feta per facilitar l'anàlisi.
El principi de raó insuficient va ser el seu primer nom, donat per Johannes von Kries, possiblement com un joc de paraules amb el principi de raó suficient de Leibniz. Aquests autors posteriors (George Boole, John Venn i altres) es van oposar a l'ús de la distribució a priori uniforme per dues raons. La primera raó és que la funció constant no és normalitzable i, per tant, no és una distribució de probabilitat adequada. La segona raó és la seva inaplicabilitat a variables contínues, tal com s'ha descrit anteriorment.
El "principi de raó insuficient" va ser rebatejat com a "principi d'indiferència" per John Maynard Keynes (1921), que va tenir cura d'assenyalar que només s'aplica quan no hi ha coneixement que indiqui probabilitats desiguals.
Els intents de situar la noció sobre una base filosòfica més ferma han començat generalment amb el concepte d'equipossibilitat i han progressat des d'aquest fins a l'equipprobabilitat.
El principi d'indiferència pot rebre una justificació lògica més profunda observant que als estats de coneixement equivalents se'ls haurien d'assignar probabilitats epistèmiques equivalents. Aquest argument va ser proposat per Edwin Thompson Jaynes: condueix a dues generalitzacions, és a dir, el principi dels grups de transformació com en el principi de Jeffreys, i el principi de màxima entropia.
Referències
Categoria:Probabilitat Categoria:Estadística