miniatura|Corbes tensió-deformació per a diversos models de materials hiperelàstics. Un material hiperelàstic o elàstic de GreenR.W. Ogden, 1984, Non-Linear Elastic Deformations, , Dover. és un tipus de model constitutiu per a material idealment elàstic per al qual la relació tensió-deformació deriva d'una funció de densitat d'energia de deformació. El material hiperelàstic és un cas especial d'un material elàstic de Cauchy.

Per a molts materials, els models elàstics lineals no descriuen amb precisió el comportament observat del material. L'exemple més comú d'aquest tipus de material és el cautxú, la relació tensió-deformació del qual es pot definir com a no linealment elàstica, isotròpica i incompressible. La hiperelasticitat proporciona un mitjà per modelar el comportament tensió-deformació d'aquests materials. El comportament dels elastòmers vulcanitzats sense farciment sovint s'ajusta estretament a l'ideal hiperelàstic. Els elastòmers farcits i els teixits biològics també es modelen sovint mitjançant la idealització hiperelàstica. A més de ser utilitzats per modelar materials físics, els materials hiperelàstics també s'utilitzen com a medis ficticis, per exemple, en el tercer mètode de contacte amb el medi.

Ronald Rivlin i Melvin Mooney van desenvolupar els primers models hiperelàstics, els sòlids neo-hookeans i de Mooney-Rivlin. Des de llavors s'han desenvolupat molts altres models hiperelàstics. Altres models de materials hiperelàstics àmpliament utilitzats inclouen el model d'Ogden i el model d'Arruda-Boyce.

Models de materials hiperelàstics Model de Saint Venant-Kirchhoff El model de material hiperelàstic més simple és el model de Saint-Venant-Kirchhoff, que és només una extensió del model de material elàstic geomètricament lineal al règim geomètricament no lineal. Aquest model té la forma general i la forma isotròpica respectivament. on és la contracció tensorial, és la segona tensió de Piola-Kirchhoff, és un tensor de rigidesa de quart ordre i és la soca lagrangiana de Green donada per i són les constants de Lamé, i és el tensor unitari de segon ordre.

La funció de densitat d'energia de deformació per unitat de volum (de la configuració de referència) per al model de Saint Venant-Kirchhoff és i la segona tensió de Piola-Kirchhoff es pot derivar de la relació

Classificació de models de materials hiperelàstics Els models de materials hiperelàstics es poden classificar com:

descripcions fenomenològiques del comportament observat Fong Mooney–Rivlin Ogden Polinomi Saint Venant–Kirchhoff Sí Marlow models mecanístics derivats d'arguments sobre l'estructura subjacent del material Model d'Arruda-Boyce Model neohookeàR.W. Ogden, 1984, Non-Linear Elastic Deformations, , Dover. Model Buche–Silberstein híbrids de models fenomenològics i mecanístics Gant Van der Waals

Generalment, un model hiperelàstic ha de satisfer el criteri d'estabilitat de Drucker. Alguns models hiperelàstics satisfan la hipòtesi de Valanis-Landel, que estableix que la funció d'energia de deformació es pot separar en la suma de funcions separades dels estiraments principals. :

Relacions tensió-deformació Materials hiperelàstics compressibles Primera tensió de Piola-Kirchhoff Si és la funció de densitat d'energia de deformació, el primer tensor de tensió de Piola-Kirchhoff es pot calcular per a un material hiperelàstic com on és el gradient de deformació. En termes de la deformació lagrangiana de Green ( ) En termes del tensor de deformació de Cauchy-Green a la dreta ()

Segona tensió de Piola-Kirchhoff Si és el segon tensor de tensions de Piola-Kirchhoff, aleshores En termes de la soca verda lagrangiana En termes del tensor de deformació de Cauchy-Green a la dreta La relació anterior també es coneix com a fórmula de Doyle-Ericksen en la configuració del material.

Estrès de Cauchy De la mateixa manera, la tensió de Cauchy ve donada per En termes de la soca verda lagrangiana En termes del tensor de deformació de Cauchy-Green a la dreta Les expressions anteriors són vàlides fins i tot per a medis anisotròpics (en aquest cas, s'entén que la funció potencial depèn implícitament de quantitats direccionals de referència com ara les orientacions inicials de les fibres). En el cas especial d'isotropia, la tensió de Cauchy es pot expressar en termes del tensor de deformació de Cauchy-Green esquerre de la següent manera:Y. Basar, 2000, Nonlinear continuum mechanics of solids, Springer, p. 157.

Expressions per a la tensió de Cauchy Materials hiperelàstics incompressibles

Per a materials hiperelàstics isotròpics, la tensió de Cauchy es pot expressar en termes dels invariants del tensor de deformació de Cauchy-Green esquerre (o del tensor de deformació de Cauchy-Green dret). Si la funció de densitat d'energia de deformació és llavors (Vegeu la pàgina de l'esquerra del tensor de deformació de Cauchy-Green per a les definicions d'aquests símbols).

Materials hiperelàstics isotròpics incompressibles Per a materials hiperelàstics isotròpics incompressibles, la funció de densitat d'energia de deformació és . La tensió de Cauchy ve donada per on és una pressió indeterminada. En termes de diferències de tensió Si a més , aleshores Si , aleshores

Consistència amb elasticitat lineal La consistència amb l'elasticitat lineal s'utilitza sovint per determinar alguns dels paràmetres dels models de materials hiperelàstics. Aquestes condicions de consistència es poden trobar comparant la llei de Hooke amb la hiperelasticitat linealitzada a petites deformacions.

Condicions de consistència per a models hiperelàstics isotròpics Perquè els materials hiperelàstics isotròpics siguin consistents amb l'elasticitat lineal isotròpica, la relació tensió-deformació hauria de tenir la forma següent en el límit de deformació infinitesimal: on són les constants de Lamé. La funció de densitat d'energia de deformació que correspon a la relació anterior ésR.W. Ogden, 1984, Non-Linear Elastic Deformations, , Dover. Per a un material incompressible i tenim Per a qualsevol funció de densitat d'energia de deformació per reduir a les formes anteriors per a petites soques s'han de complir les condicions següents

Si el material és incompressible, les condicions anteriors es poden expressar de la forma següent. Aquestes condicions es poden utilitzar per trobar relacions entre els paràmetres d'un model hiperelàstic donat i els mòduls de cisallament i de volum.

Condicions de consistència per a materials de cautxú incompressibles basats Molts elastòmers es modelen adequadament mitjançant una funció de densitat d'energia de deformació que només depèn de Per a aquests materials tenim Les condicions de consistència per a materials incompressibles per a es pot expressar com La segona condició de consistència anterior es pot derivar observant que Aquestes relacions es poden substituir en la condició de consistència per a materials hiperelàstics isòtrops incompressibles.

Referències

Categoria:Ciència de materials