En l'estudi de les equacions diferencials parcials, particularment en la dinàmica de fluids, una solució autosimilar és una forma de solució que és similar a si mateixa si les variables independents i dependents s'escalen adequadament. Les solucions autosimilars apareixen sempre que el problema no té una escala de longitud o temps característica (per exemple, la capa límit de Blasius d'una placa infinita, però no d'una placa de longitud finita). Aquestes inclouen, per exemple, la capa límit de Blasius o la capa de Sedov-Taylor.
Concepte Una eina poderosa en física és el concepte d'anàlisi dimensional i les lleis d'escalat. En examinar els efectes físics presents en un sistema, podem estimar la seva mida i, per tant, quins, per exemple, es poden negligir. En alguns casos, el sistema pot no tenir una longitud natural o escala de temps fixa, mentre que la solució depèn de l'espai o el temps. Aleshores, cal construir una escala utilitzant l'espai o el temps i les altres quantitats dimensionals presents, com ara la viscositat. Aquestes construccions no s'"endevinen", sinó que es deriven immediatament de l'escalat de les equacions governants.
Classificació La solució autosimilar normal també es coneix com a solució autosimilar de primer tipus, ja que existeix un altre tipus d'autosimilar per a problemes de mida finita, que no es poden derivar de l'anàlisi dimensional, conegut com a solució autosimilar de segon tipus.
Solució autosimilar de segona mena La identificació primerenca de solucions autosimilars de segon tipus es pot trobar en problemes d'ones de xoc implosives (problema de Guderley-Landau-Stanyukovich), analitzat per G. Guderley (1942) i Lev Landau i KP Stanyukovich (1944),Stanyukovich, K. P. (2016). Unsteady motion of continuous media. Elsevier. Page 521 i propagació d'ones de xoc per un impuls curt, analitzat per Carl Friedrich von WeizsäckerWeizsäcker, CF (1954). Approximate representation of strong unsteady shock waves through homology solutions. Zeitschrift für Naturforschung A, 9 (4), 269-275. i Yakov Borisovich Zel'dovich (1956), que també el van classificar com a segon tipus per primera vegada. Leonid Ivanovich Sedov va publicar un estudi independent sobre el mateix camp el 1959. Grigory Barenblatt i Yakov Borisovich Zel'dovich en van fer una descripció completa el 1972. La solució autosimilar de segon tipus també apareix en diferents contextos, com ara en problemes de capa límit sotmesos a petites pertorbacions, tal com van identificar Keith Stewartson, Paul A. Libby i Herbert Fox. Els remolins de Moffatt també són una solució autosimilar de segon tipus.
Exemples Problema de Rayleigh Un exemple simple és un domini semiinfinit delimitat per una paret rígida i ple de fluid viscós. En el moment la paret està feta per moure's amb velocitat constant en una direcció fixa (per a la precisió, diguem-ne el direcció i només cal tenir en compte la pla), es pot veure que no hi ha cap escala de longitud distingida donada al problema. Això es coneix com el problema de Rayleigh. Les condicions de contorn de no-lliscament són
A més, s'aplica la condició que la placa no tingui cap efecte sobre el fluid a l'infinit com a
Ara, a partir de les equacions de Navier-Stokes es pot observar que aquest flux serà rectilini, amb gradients en el direcció i flux en el direcció, i que el terme de pressió no tindrà cap component tangencial de manera que El/La component de les equacions de Navier-Stokes esdevé aleshores i els arguments d'escalat es poden aplicar per demostrar que que dóna l'escala de la coordinar com a
Això permet plantejar un ansatz autosimilar tal que, amb i adimensional, L'anterior conté tota la física rellevant i el següent pas és resoldre les equacions, que en molts casos inclouran mètodes numèrics. Aquesta equació és
amb una solució que compleix les condicions de contorn que que és una solució autosimilar de primera mena.
Aproximació de sòlids semiinfinits En aplicacions de transferència de calor transitòria, com ara l'escalfament per impacte a la coberta d'un vaixell durant els llançaments de míssils i el dimensionament dels sistemes de protecció tèrmica, es poden trobar solucions autosimilars per a sòlids semiinfinits. L'equació que regeix quan la conducció de calor és el mecanisme principal de transferència de calor és l'equació d'energia unidimensional:on 𝜌 és la densitat del material, 𝑐𝑝 és la capacitat calorífica específica del material, 𝑘 és la conductivitat tèrmica del material. En el cas que se suposa que el material és homogeni i les seves propietats són constants, l'equació de l'energia es redueix a l'equació de la calor:amb essent la difusivitat tèrmica. Introduint la variable de similitud i suposant que , L'EDP es pot transformar en EDO:Si s'assumeix un model simple de dimensionament del sistema de protecció tèrmica, on s'ignora la descomposició, el flux de gas de piròlisi i la recessió superficial, amb la temperatura inicial i una temperatura superficial constant ,llavors l'EDO es pot resoldre per a la temperatura a una profunditat i temps :on és la funcció error.
Referències
Categoria:Dinàmica de fluids Categoria:Equacions en derivades parcials