En matemàtiques, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff dóna el valor de que resol l'equacióper a X i Y possiblement no commutatius a l'àlgebra de Lie d'un grup de Lie. Hi ha diverses maneres d'escriure la fórmula, però totes finalment donen una expressió per a en termes algebraics de Lie, és a dir, com una sèrie formal (no necessàriament convergent) en X i Y i els seus commutadors iterats. Els primers termes d'aquesta sèrie són:on ""indica termes que impliquen commutadors superiors de i . Si i són elements prou petits de l'àlgebra de Lie de un grup Lie , la sèrie és convergent. Mentrestant, cada element prou proper a la identitat a es pot expressar com per a un petit en .Per tant, podem dir que a prop de la identitat, la multiplicació de grups a — escrita com —es pot expressar en termes purament algebraics de Lie. La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es pot utilitzar per donar demostracions relativament senzilles de resultats profunds en la correspondència grup de Lie-àlgebra de Lie.
Si i són prou petits matrius, aleshores es pot calcular com el logaritme de , on les exponencials i el logaritme es poden calcular com a sèries de potències. El punt de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff és, doncs, l'afirmació, altament no òbvia, que es pot expressar com una sèrie en commutadors repetits de i .
Es poden trobar exposicions modernes de la fórmula, entre altres llocs, als llibres de Rossmann i Hall.
Història La fórmula porta el nom de Henry Frederick Baker, John Edward Campbell i Felix Hausdorff, que van establir la seva forma qualitativa, és a dir, que només es necessiten commutadors i commutadors de commutadors, ad infinitum, per expressar la solució. Una afirmació anterior de la forma va ser esbossada per Friedrich Schur el 1890, on es dóna una sèrie de potències convergent, amb termes definits recursivament. Aquesta forma qualitativa és la que s'utilitza en les aplicacions més importants, com ara les demostracions relativament accessibles de la correspondència de Lie i en la teoria quàntica de camps. Seguint Schur, va ser assenyalada impresa per Campbell (1897); elaborada per Henri Poincaré (1899) i Baker (1902); i sistematitzada geomètricament, i vinculada a la identitat de Jacobi per Hausdorff (1906). La primera fórmula explícita real, amb tots els coeficients numèrics, es deu a Eugene Dynkin (1947). La història de la fórmula es descriu detalladament a l'article d'Aquil·les i Bonfiglioli i al llibre de Bonfiglioli i Fulci.
Formes explícites Per a molts propòsits, només cal saber que una expansió per a en termes de commutadors iterats de i existeix; els coeficients exactes sovint són irrellevants. (Vegeu, per exemple, la discussió de la relació entre el grup de Lie i els homomorfismes d'àlgebra de Lie a la secció 5.2 del llibre de Hall, on els coeficients precisos no tenen cap paper en l'argument.) Martin Eichler va donar una demostració d'existència notablement directa, vegeu també la secció "Resultats d'existència" a continuació.
En altres casos, es pot necessitar informació detallada sobre i, per tant, és convenient calcular tan explícitament com sigui possible. Existeixen nombroses fórmules; en aquesta secció descriurem dues de les principals (la fórmula de Dynkin i la fórmula integral de Poincaré).
Fórmula de Dynkin Sigui G un grup de Lie amb àlgebra de Lie Deixa sigui l'aplicació exponencial . La següent fórmula combinatòria general va ser introduïda per Eugene Dynkin (1947),Nathan Jacobson, Lie Algebras, John Wiley & Sons, 1966. on la suma es realitza sobre tots els valors no negatius de i , i s'ha utilitzat la notació següent: amb l'enteniment que
La sèrie no és convergent en general; és convergent (i la fórmula indicada és vàlida) per a tots els valors prou petits i . Com que , el terme és zero si o si i
Els primers termes són ben coneguts, amb tots els termes d'ordre superior que impliquen i els seus nius de commutador (per tant, a l'àlgebra de Lie):
L'anterior llista tots els sumands d'ordre 6 o inferior (és a dir, aquells que contenen 6 o menys i ). L'antisimetria/simetria en ordres alterns de l'expansió es desprèn de . Una demostració elemental completa d'aquesta fórmula es pot trobar a l'article sobre la derivada de l'aplicació exponencial.
Una fórmula integral Hi ha moltes altres expressions per a , molts dels quals s'utilitzen a la literatura de física. Una fórmula integral popular ésW. Miller, Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York, 1972, pp 159–161. que implica la funció generadora dels nombres de Bernoulli, utilitzat per Poincaré i Hausdorff.
Referències
Categoria:Matemàtiques Categoria:Física