miniatura|300x300px|Cos de Sears-Haack El cos de Sears-Haack és la forma amb la resistència teòrica d'ona més baixa en un flux supersònic, per a un cos sòlid esvelt de revolució amb una longitud i un volum determinats. La derivació matemàtica assumeix un flux supersònic de petita pertorbació (linealitzat), que es regeix per l'equació de Prandtl-Glauert. La derivació i la forma van ser publicades independentment per dos investigadors separats: Wolfgang Haack el 1941 i més tard per William Sears el 1947.
La teoria de Kármán-Moore indica que l'arrossegament de l'ona s'escala com el quadrat de la segona derivada de la distribució d'àrea, (vegeu l'expressió completa a continuació), de manera que per a una baixa resistència a l'ona és necessari que ser llis. Així, el cos de Sears-Haack té forma de punta a cada extrem i creix suaument fins a un màxim i després disminueix suaument cap al segon punt.
Fórmules útils L'àrea de la secció transversal d'un cos de Sears-Haack és
el seu volum és
el seu radi és
la derivada (pendent) és
la segona derivada és
on:
x és la relació entre la distància del nas i la longitud total del cos (sempre està entre 0 i 1), r és el radi local, és el radi en el seu màxim (es produeix a x = 0,5, centre de la forma), V és el volum, L és la longitud.
De la teoria de Kármán–Moore, es dedueix que:
alternativament:
Aquestes fórmules es poden combinar per obtenir el següent:
on:
is the wave drag force, is the drag coefficient (normaled by the dynamic pressure and frontal area), is the density of the fluid, U is the velocity.
Derivació Segons la teoria de Kármán-Moore, la força d'arrossegament de l'ona ve donada per
on és l'àrea de la secció transversal del cos perpendicular a l'eix del cos; aquí representa l'avantguarda i és el vora de sortida, tot i que la teoria de Kármán-Moore no distingeix aquests extrems perquè el coeficient d'arrossegament és independent de la direcció del moviment en la teoria lineal. En lloc de , podem definir la funció i expandir-lo en sèrie
on La sèrie comença des de a causa de la condició Nosaltres tenim
Tingueu en compte que el volum del cos només depèn del coeficient A2 .
Per calcular la força d'arrossegament, primer reescriurem la fórmula de la força d'arrossegament, integrant per parts una vegada,
Per calcular la força d'arrossegament, primer reescriurem la fórmula de la força d'arrossegament, integrant per parts una vegada,
en què representa el valor principal de Cauchy. Ara podem substituir l'expansió per i integra l'expressió utilitzant les dues identitats següents
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3def35a60bb6f48821ed3c70ca83275298f1f366
El resultat final, expressat en termes de coeficient d'arrossegament , ve donat simplement per
Des de depèn només de , el valor mínim de s'assoleix quan per .
Així, establir per , obtenim ,
on és el radi en funció de .
Referències
Categoria:Aerodinàmica