En matemàtiques, el lema d'Itô o fórmula d'Itô (també anomenada fórmula d'Itô-Doeblin) és una identitat utilitzada en el càlcul d'Itô per trobar el diferencial d'una funció dependent del temps d'un procés estocàstic.
Serveix com a contrapart del càlcul estocàstic de la regla de la cadena.
Es pot derivar heurísticament formant l'expansió en sèrie de Taylor de la funció fins a les seves derivades segones i retenint termes fins a primer ordre en l'increment de temps i segon ordre en l'increment del procés de Wiener.
El lema s'utilitza àmpliament en matemàtiques financeres, i la seva aplicació més coneguda és en la derivació de l'equació de Black-Scholes per als valors de les opcions.
Aquest resultat va ser descobert pel matemàtic japonès Kiyoshi Itô el 1951.
Motivació Suposem que tenim l'equació diferencial estocàstica (SDE)
on és un procés de Wiener i les funcions són funcions deterministes (no estocàstiques) del temps. En general, no és possible escriure una solució directament en termes de No obstant això, podem escriure formalment una solució integral.
Aquesta expressió ens permet llegir fàcilment la mitjana i la variància de (que no té moments superiors). Primer, observeu que cada individualment té mitjana 0, de manera que el valor esperat de és simplement la integral de la funció de deriva:
De la mateixa manera, com que els termes tenen variància 1 i no hi ha correlació entre si, la variància de és simplement la integral de la variància de cada pas infinitesimal del camí aleatori:
Tanmateix, de vegades ens trobem amb una equació diferencial estocàstica per a un procés més complex en què el procés apareix a banda i banda de l'equació diferencial. És a dir, per exemple
per a algunes funcions i En aquest cas, no podem escriure immediatament una solució formal com vam fer per al cas més simple anterior. En canvi, esperem escriure el procés com a funció d'un procés més simple que prengui la forma anterior. És a dir, volem identificar tres funcions i tals que i
A la pràctica, s'utilitza el lema d'Ito per trobar aquesta transformació. Finalment, un cop hem transformat el problema en el tipus de problema més simple, podem determinar els moments mitjà i superior del procés.
Derivació Derivem el lema d'Itô expandint una sèrie de Taylor i aplicant les regles del càlcul estocàstic.
Suposem que és un procés de deriva-difusió d'Itô que satisfà l'equació diferencial estocàstica
on és un procés de Wiener.
Si f(t,x) és una funció escalar dues vegades diferenciable, la seva expansió en una sèrie de Taylor és
A continuació, utilitzeu la derivada total i la definició de la derivada parcial :
Substituint i per tant , obtenim
En el límit , els termes i tendeixen a zero més ràpid que . és (a causa de la variació quadràtica d'un procés de Wiener que diu ), establint els termes i a zero i substituint per a , i després recollint els termes , obtenim
segons calgui.
Alternativament,
Intuïció geomètrica miniatura|Quan és una variable aleatòria gaussiana, també és una variable aleatòria aproximadament gaussiana, però la seva mitjana difereix de per un factor proporcional a i la variància de . Suposem que sabem que són dues variables aleatòries gaussianes distribuïdes conjuntament, i és no-lineal però té una derivada segona contínua. Aleshores, en general, cap de les és gaussiana, i la seva distribució conjunta tampoc és gaussiana. Tanmateix, com que és gaussià, encara podríem trobar que és gaussià. Això no és cert quan és finit, però quan esdevé infinitesimal, això esdevé cert.
La idea clau és que té una part determinista i una part sorollosa. Quan és no-lineal, la part sorollosa té una contribució determinista. Si és convexa, aleshores la contribució determinista és positiva (per la desigualtat de Jensen).
Per esbrinar quina és la contribució, escrivim , on és una gaussiana estàndard, i després realitzem l'expansió de Taylor
L'hem dividit en dues parts, una part determinista i una part aleatòria amb mitjana zero. La part aleatòria no és gaussiana, però les parts no gaussianes decauen més ràpidament que la part gaussiana, i al límit , només queda la part gaussiana. La part determinista té l'esperat , però també una part contribuïda per la convexitat:
Per entendre per què hi hauria d'haver una contribució deguda a la convexitat, considerem el cas més simple de passeig brownià geomètric (del mercat de valors): . En altres paraules, ; si , aleshores , i és un passeig brownià.
Tanmateix, tot i que l'expectativa de roman constant, l'expectativa de creix. Intuïtivament, és perquè la part negativa està limitada a zero, però la part positiva és il·limitada. És a dir, mentre que té una distribució normal, té una distribució log-normal.
Formulació matemàtica del lema d'Itô En els següents apartats discutim versions del lema d'Itô per a diferents tipus de processos estocàstics.
Processos de deriva-difusió Itô (a causa de: Kunita-Watanabe) En la seva forma més simple, el lema d'Itô estableix el següent: per a un procés de deriva-difusió d'Itô
i qualsevol funció escalar dues vegades diferenciable de dues variables reals i , es té
Això implica immediatament que és en si mateix un procés de deriva-difusió d'Itô.
En dimensions superiors, si és un vector de processos d'Itô tal que
per a un vector i matriu , el lema d'Itô afirma aleshores que
on és el gradient de f respecte ; és la matriu hessiana de f respecte a ; i és l'operador de traça.
Processos de salt de Poisson També podem definir funcions en processos estocàstics discontinus.
Sigui h la intensitat del salt. El model del procés de Poisson per a salts és que la probabilitat d'un salt en l'interval és més termes d'ordre superior. h podria ser una constant, una funció determinista del temps o un procés estocàstic. La probabilitat de supervivència és la probabilitat que no s'hagi produït cap salt en l'interval . El canvi en la probabilitat de supervivència és
així
Sigui un procés estocàstic discontinu. Escrivim per al valor de S a mesura que ens acostem a t des de l'esquerra. Escrivim per al canvi no infinitesimal en com a resultat d'un salt. Aleshores
Sigui la magnitud del salt i sigui la distribució de . La magnitud esperada del salt és
Ara, definim el procés compensat associat amb , que simplement significa que restem el canvi mitjà en de manera que sigui una martingala. Per tant, l'increment a és:
llavors
Considerem una funció del procés de salt . Si salta , aleshores salta . s'extreu de la distribució que pot dependre de , dg i . La part de salt de és
Si conté parts de deriva, difusió i salt, aleshores el lema d'Itô per a és
El lema d'Itô per a un procés que és la suma d'un procés de deriva-difusió i un procés de salt que és simplement la suma del lema d'Itô per a les parts individuals.
Semimartingales discontínues El lema d'Itô també es pot aplicar a semimartingales d-dimensionals generals, que no cal que siguin contínues. En general, una semimartingala és un procés càdlàg (continu a la dreta, limitat a l'esquerra), i cal afegir un terme de salt addicional a la fórmula d'Itô.
Per a qualsevol procés càdlàg , el límit esquerre en es denota per , que és un procés continu a l'esquerra. Els salts s'escriuen com a . Aleshores, el lema d'Itô estableix que si és una semimartingala d-dimensional i f és una funció real amb valors dues vegades contínuament diferenciable sobre , aleshores f(X) és una semimartingala, i
Això difereix de la fórmula per a semimartingales contínues en què l'últim terme suma els salts de X, cosa que garanteix que el salt del costat dret en el temps sigui Δf(Xt).
Exemples Moviment brownià geomètric Es diu que un procés S segueix un moviment brownià geomètric amb volatilitat constant σ i deriva constant μ si satisfà l'equació diferencial estocàstica , per a un moviment brownià .
Aplicant el lema d'Itô amb dóna
D'això es dedueix que
l'exponenciació dóna l'expressió per a ,
El terme de correcció de correspon a la diferència entre la mediana i la mitjana de la distribució log-normal, o equivalentment per a aquesta distribució, la mitjana geomètrica i la mitjana aritmètica, amb la mediana (mitjana geomètrica) més baixa. Això es deu a la desigualtat MG-MA i correspon al fet que el logaritme és còncau (o convex cap amunt), de manera que el terme de correcció es pot interpretar com una correcció de convexitat. Aquesta és una versió infinitesimal del fet que el rendiment anualitzat és inferior al rendiment mitjà, amb la diferència proporcional a la variància.
El mateix factor de apareix a les variables auxiliars d1 i d2 de la fórmula de Black-Scholes, i es pot interpretar com a conseqüència del lema d'Itô..
Exponencial de Doléans-Dade L'exponencial de Doléans-Dade (o exponencial estocàstica) d'una semimartingala contínua X es pot definir com la solució de l'equació diferencial estocàstica amb la condició inicial . De vegades es denota per .
Aplicant el lema d'Itô amb obtenim
L'exponenciació dóna la solució
Fórmula de Black-Scholes
El lema d'Itô es pot utilitzar per derivar l'equació de Black-Scholes per a una opció.
Suposem que el preu d'una acció segueix un moviment brownià geomètric donat per l'equació diferencial estocàstica . Aleshores, si el valor d'una opció en el moment és , el lema d'Itô dóna
El terme representa el canvi de valor en el temps de l'estratègia de negociació que consisteix a mantenir una quantitat de l'acció. Si es segueix aquesta estratègia de negociació i se suposa que qualsevol efectiu mantingut creix a la taxa lliure de risc , aleshores el valor total V d'aquesta cartera satisfà la SDE
Aquesta estratègia replica l'opció si . La combinació d'aquestes equacions dóna la cèlebre equació de Black-Scholes
Regla del producte per als processos Itô Sigui un procés Ito bidimensional amb SDE:
Aleshores podem utilitzar la forma multidimensional del lema d'Ito per trobar una expressió per a .
Tenim i .
Establim i observem que i
Si substituïm aquests valors en la versió multidimensional del lema, tenim:
Això és una generalització de la regla del producte de Leibniz als processos d'Ito, que no són diferenciables.
A més, l'ús de la segona forma de la versió multidimensional anterior ens dóna
així veiem que el producte és en si mateix un procés de deriva-difusió d'Itô.
Fórmula d'Itô per a funcions amb variació quadràtica finita Hans Föllmer va proporcionar una demostració no probabilística de la fórmula d'Itô i va mostrar que es compleix per a totes les funcions amb variació quadràtica finita..
Sigui una funció amb valors reals i una funció contínua per la dreta amb límits esquerres i variació quadràtica finita
Llavors
on la variació quadràtica de es defineix com un límit al llarg d'una seqüència de particions de amb una tendència decreixent cap a zero:
Fórmula d'Itô d'ordre superior Rama Cont i Nicolas Perkowski van estendre la fórmula d'Itô a funcions amb variació p-èsima finita on és un nombre enter arbitràriament gran.
Donada una funció contínua amb variació p-èsima finita
La fórmula de canvi de variable de Cont i Perkowski estableix que per a qualsevol :
on la primera integral es defineix com un límit de sumes de Riemann compensades per l'esquerra al llarg d'una seqüència de particions
Cont i Jin van obtenir una extensió al cas de regularitat fraccionària ( no entera).
Fórmules de dimensió infinita Existeixen algunes extensions als espais de dimensió infinita (per exemple, Pardoux, Gyöngy-Krylov, Brzezniak-van Neerven-Veraar-Weis.).
Referències
Bibliografia
Vegeu també Càlcul d'Itô Fórmula de Feynman-Kac Procés de Wiener
Categoria:Càlcul diferencial Categoria:Lemes (matemàtiques) Categoria:Probabilitat