El model de Dicke és un model fonamental de l'òptica quàntica, que descriu la interacció entre la llum i la matèria. En el model de Dicke, el component llum es descriu com un únic mode quàntic, mentre que la matèria es descriu com un conjunt de sistemes de dos nivells. Quan l'acoblament entre la llum i la matèria creua un valor crític, el model de Dicke mostra una transició de fase de camp mitjà a una fase superradiant.
Aquesta transició pertany a la classe d'universalitat d'Ising i es va realitzar en experiments d'electrodinàmica quàntica de cavitats. Tot i que la transició superradiant té certa analogia amb la inestabilitat del làser, aquestes dues transicions pertanyen a classes d'universalitat diferents.
Descripció El model de Dicke és un model de mecànica quàntica que descriu l'acoblament entre una cavitat monomode i sistemes de dos nivells, o equivalent a espín-½ graus de llibertat. El model va ser introduït per primera vegada l'any 1973 per K. Hepp i E. H. Lieb. El seu estudi es va inspirar en el treball pioner de R. H. Dicke sobre l'emissió de llum superradiant a l'espai lliure i porta el seu nom.
Com qualsevol altre model de mecànica quàntica, el model de Dicke inclou un conjunt d'estats quàntics (l'espai de Hilbert) i un operador d'energia total (lel hamiltonià). L'espai de Hilbert del model de Dicke ve donat per (el producte tensorial de) els estats de la cavitat i dels sistemes de dos nivells. L'espai de Hilbert de la cavitat es pot abastar amb estats de Fock amb fotons, denotat per . Aquests estats es poden construir a partir de l'estat de buit utilitzant els operadors d'escala canònics, i , que sumen i resten un fotó de la cavitat, respectivament. Els estats de cada sistema de dos nivells s'anomenen amunt i avall i es defineixen mitjançant els operadors d'espín , satisfent l'àlgebra d'espín . Aquí, és la constant de Planck i indica un sistema específic de dos nivells.S'ha de tenir en compte que els operadors de gir sovint es representen per matrius de Pauli , a través de la relació . En algunes referències, el hamiltonià del model de Dicke es representa en termes de matrius de Pauli, en lloc d'operadors de spin.
El hamiltonià del model de Dicke és
Aquí, el primer terme descriu l'energia de la cavitat i és igual al producte de l'energia d'un fotó d'una sola cavitat. (on és la freqüència de la cavitat), multiplicada pel nombre de fotons a la cavitat, . El segon terme descriu l'energia dels sistemes de dos nivells, on és la diferència d'energia entre els estats de cada sistema de dos nivells. L'últim terme descriu l'acoblament entre els sistemes de dos nivells i la cavitat i se suposa que és proporcional a una constant, vegades la inversa de l'arrel quadrada del nombre de sistemes de dos nivells. Aquesta hipòtesi permet obtenir una transició de fase en el límit de (vegeu més avall). L'acoblament es pot escriure com la suma de dos termes: un terme co-rotatori que conserva el nombre d'excitacions i és proporcional a i un terme de rotació contraria proporcional a , on són els operadors d'escala de l'espín.
El hamiltonià de l'equació 1 suposa que tots els espins són idèntics (és a dir, tenen la mateixa diferència d'energia i estan igualment acoblats a la cavitat). Sota aquesta hipòtesi, es poden definir els operadors d'espín macroscòpics , amb , que satisfan l'àlgebra d'espín, . Utilitzant aquests operadors, es pot reescriure el hamiltonià a l' és
Aquesta notació simplifica l'estudi numèric del model perquè implica un únic espín-S amb , l'espai de Hilbert del qual té mida , enlloc de espín-1/2, l'espai de Hilbert del qual té mida .
El model de Dicke té una simetria global,
Perquè quadrats a la unitat (és a dir, si s'aplica dues vegades, torna cada estat al seu estat original), té dos valors propis, i . Aquesta simetria s'associa a una quantitat conservada: la paritat del nombre total d'excitacions , on
Aquesta conservació de la paritat es pot veure pel fet que cada terme del Hamiltonià conserva el nombre d'excitació, excepte els termes de rotació contrària, que només poden canviar el nombre d'excitació per . Es diu que un estat del model de Dicke és normal quan es conserva aquesta simetria i superradiant quan aquesta simetria es trenca espontàniament.
Models relacionats El model de Dicke està estretament relacionat amb altres models d'òptica quàntica. Concretament, el model de Dicke amb un únic sistema de dos nivells, , s'anomena model de Rabi. En absència de termes de rotació contraria, el model s'anomena model de Jaynes-Cummings per a i model de Tavis-Cummings per a . Aquests dos models conserven el nombre de excitacions i es caracteritza com una simetria . La ruptura espontània d'aquesta simetria dona lloc a un estat de làser (vegeu més avall).
La relació entre el model de Dicke i altres models es resumeix a la taula següent.
Nom del model Rotació en sentit contrari? Simetria Nombre de sistemes de dos nivells Jaynes-Cummings no Tavis-Cummings no Rabi si Dicke si
Transició de fase superradiant Els primers estudis del model de Dicke van considerar les seves propietats d'equilibri. Aquests estudis consideraven el límit de (també conegut com a límit termodinàmic) i va assumir una funció de partició tèrmica, , on és la constant de Boltzmann i és la temperatura. Es va trobar que, quan l'acoblament creua un valor crític , el model de Dicke experimenta una transició de fase de segon ordre, coneguda com a transició de fase superradiant.
En la seva derivació original, Hepp i Lieb van descuidar els efectes dels termes de rotació en sentit contrari i, per tant, van considerar el model de Tavis-Cummings (vegeu més amunt). Estudis posteriors del model complet de Dicke van trobar que la transició de fase encara es produeix en presència de termes de rotació en sentit contrari, encara que en un acoblament crític diferent.
La transició superradiant trenca espontàniament la simetria de paritat, , definida en l'. El paràmetre d'ordre d'aquesta transició de fase és . En el límit termodinàmic, aquesta quantitat tendeix a zero si el sistema és normal, o a un dels dos valors possibles si el sistema és superradiant. Aquests dos valors corresponen a estats físics del camp de la cavitat amb fases oposades (vegeu l') i, corresponentment, a estats de l'espín amb components oposats). A prop de la transició de fase superradiant, depèn el paràmetre d'ordre com . Aquesta dependència correspon a l'exponent crític del camp mitjà.
Descripció del camp mitjà de la transició La manera més senzilla de descriure la transició superradiant és utilitzar una aproximació de camp mitjà, en la qual els operadors de camp de cavitat es substitueixen pels seus valors d'expectativa. Sota aquesta aproximació, que és exacta en el límit termodinàmic, el hamiltonià de Dicke de l' esdevé una suma de termes independents, cadascun actuant sobre un sistema diferent de dos nivells, que es pot diagonalitzar de manera independent. A l'equilibri tèrmic (vegeu més amunt), es troba que l'energia lliure per sistema de dos nivells és
L'acoblament crític de la transició es pot trobar per la condició , que condueix a
Per a , té un mínim, mentre que per , té dos mínims. En el límit de s'obté una expressió per a l'acoblament crític de la transició de fase superradiant a temperatura zero, .
Límit semiclàssic i caos Límit semiclàssic Un espai de fases per al model de Dicke al subespai atòmic simètric amb es pot construir considerant el producte tensorial dels estats coherents de Glauber
on és l'operador de desplaçament i és l'estat de Fock al buit de fotons i els estats coherents SU(2).
on és l'operador rotacional a l'esfera de Bloch, i és l'estat amb tots els àtoms en el seu estat fonamental. Això produeix un espai de fases de quatre dimensions amb coordenades canòniques i .
Un hamiltonià clàssic s'obté prenent el valor esperat de l'hamiltonià de Dicke donat per l' sota aquests estats,
En el límit de , la dinàmica quàntica donada pel hamiltonià quàntic de l' i la dinàmica clàssica donada per l' coincideixen. Per a una mida de sistema finita, hi ha una correspondència clàssica i quàntica que es trenca en el «temps Ehrenfest», que és inversament proporcional a .
Caos quàntic El model de Dicke proporciona un sistema ideal per estudiar la correspondència quàntica-clàssica i el caos quàntic.
El sistema clàssic donat per l' és caòtica o regular segons els valors dels paràmetres , , i i l'energia .
S'ha de tenir en compte que pot haver-hi caos tant en els règims normals com en els superradiants.
Recentment s'ha trobat que la taxa de creixement exponencial del correlador fora de l'ordre temporal coincideix amb els exponents de Lyapunov clàssics en el règim caòtic i en punts inestables del règim regular. A més, l'evolució de la probabilitat de supervivència (és a dir, la fidelitat d'un estat amb si mateix en un moment posterior) dels estats coherents inicials altament deslocalitzats en la base pròpia d'energia està ben descrita per la teoria de matrius aleatòries, mentre que els estats coherents inicials estan fortament afectats per la presència de cicatrius quàntiques mostra comportaments que trenquen l'ergodicitat.
Model de Dicke obert El model de Dicke de l' assumeix que el mode de cavitat i els sistemes de dos nivells estan perfectament aïllats de l'entorn extern.
En experiments reals, aquesta hipòtesi no és vàlida: l'acoblament a modes lliures de llum pot provocar la pèrdua de fotons de la cavitat i el decaïment dels sistemes de dos nivells (és a dir, canals de dissipació).
Val la pena esmentar que aquests experiments utilitzen camps de conducció (per exemple, camps làser) per implementar l'acoblament entre el mode de cavitat i els sistemes de dos nivells.
Els diferents canals de dissipació es poden descriure afegint un acoblament a graus de llibertat ambientals addicionals.
Mitjançant la mitjana de la dinàmica d'aquests graus externs de llibertat s'obtenen equacions de moviment que descriuen un sistema quàntic obert.
Segons l'aproximació comuna de Born-Markov, es pot descriure la dinàmica del sistema amb l'equació mestra quàntica en forma de lindbladià:
Aquí, és la matriu de densitat del sistema, és l'operador lindbladià del canal de decaïment, , i la taxa de decaïment associada. Quan el hamiltonià ve donada per l'e, el model s'anomena model de Dicke obert.
Alguns processos de desintegració comuns que són rellevants per als experiments es mostren a la taula següent: - Decaïment de cavitat Decaïment atòmic Desfasament atòmicDecaïment col·lectiu Lindbladià Taxa de decaïment
En la descripció teòrica del model, sovint es considera l'estat estacionari on . En el límit , l'estat estacionari del model de Dicke obert mostra una transició de fase contínua, sovint anomenada transició superradiant sense equilibri. Els exponents crítics d'aquesta transició són els mateixos que la transició superradiant d'equilibri a temperatura finita (i difereixen de la transició superradiant a temperatura zero).
Transició superradiant i superradiància de Dicke La transició superradiant del model obert de Dicke està relacionada amb la superradiància de Dicke, però difereix.
La superradiància de Dicke és un fenomen col·lectiu en el qual molts sistemes de dos nivells emeten fotons de manera coherent a l'espai lliure. Es produeix si els sistemes de dos nivells es preparen inicialment en el seu estat excitat i es col·loquen a una distància molt menor que la longitud d'ona del fotó rellevant. En aquestes condicions, el decaïment espontani dels sistemes de dos nivells es fa molt més ràpida: els sistemes de dos nivells emeten un pols de llum breu amb gran amplitud. En condicions ideals, la durada del pols és inversament proporcional al nombre de sistemes de dos nivells, , i la intensitat màxima de les escales de llum emesa com . Això contrasta amb l'emissió espontània de sistemes independents de dos nivells, del temps de decaïment dels quals no depèn i on la intensitat del pols escala com .