miniatura|Salsitxa de Wiener curta i gruixuda, de dues dimensions. miniatura|300px|Salsitxa de Wiener llarga i prima, de tres dimensions. En el camp de la probabilitat, la salsitxa de Wiener (en anglès Wiener sausage) és un camí aleatori, és a dir un traç determinat per un component d'atzar, donat prenent tots els punts dins d'una distància fixa del moviment brownià fins a un temps t. Es pot visualitzar com una salsitxa de radi fix la línia central de la qual és el moviment brownià.
La salsitxa de Wiener és un dels funcionals no-markovians més simples del moviment brownià. Té aplicacions en fenòmens estocàstics, inclosa la conducció tèrmica. Va ser descrita per Frank Spitzer l'any 1964, S2CID: 198179345 i utilitzada per Mark Kac i Joaquin Mazdak Luttinger per explicar els resultats d'un condensat de Bose–Einstein, MR: 0342114 MR: 0342115 amb la demostració publicada per M. D. Donsker i S. R. Srinivasa Varadhan (1975). Aquests darrers són els que van atorgar-li aquest nom en referència al matemàtic Norbert Wiener, per la seva relació amb el procés de Wiener; el nom també és un joc de paraules amb la salsitxa de Viena, ja que "Wiener" en alemany significa "vienès".
Descripció La salsitxa de Wiener de radi δ i llargada t, , correspon al conjunt de valors de la variable d'atzar en els camins brownians b (en algun espai euclidià) definida , és a dir, el conjunt de punts a una distància δ d'algun punt del camí b, amb un valor x entre 0 i t, ambdós inclosos.
Volum Hi ha molts estudis sobre el comportament del volum (mesura de Lebesgue) de la salsitxa quan menor és el radi definit (δ→0); redefinint l'escala, és essencialment equivalent a determinar-ne el volum a mesura que es fa llarga, quan t tendeix a infinit.
Spitzer va mostrar que en tres dimensions el valor esperat del volum de la salsitxa és
En dimensions d majors que 3, el volum és asimptòtic a
quan t tendeix a infinit.
En canvi, en una o dues dimensions la fórmula se substitueix per i per respectivament.
Whitman, un estudiant d'Spitzer, va obtenir resultats similars per una generalització de les salsitxes, amb seccions creuades donats uns conjunts compactes més generals que les boles.Whitman, Walter William (1964), «Some Strong Laws for Random Walks and Brownian Motion», Tesi doctoral, Cornell U.
Referències
Bibliografia Hollander, F. (2001) , "Wiener sausage", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press. Simon, Barry (2005), «Functional integration and quantum physics», Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, , MR 2105995 (Veure especialment el capítol 22) Spitzer, Frank (1976), «Principles of random walks», Graduate Texts in Mathematics, vol. 34, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, p. 40, MR 0171290 (Reimpressió de l'edició de 1964) Sznitman, Alain-Sol (1998), «Brownian motion, obstacles and random media», Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, , , MR 1717054 Monografia avançada sobre la salsitxa de Wiener.
Categoria:Probabilitat