En teoria de matrius, la fórmula de Sylvester o teorema de matrius de Sylvester (en honor al matemàtic anglès J. J. Sylvester) o la interpolació de Lagrange−Sylvester expressa una funció analítica d'una matriu com el polinomi en , en termes dels valors propis i vectors propis de . Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Jon F. Claerbout (1976), Sylvester's matrix theorem, a section of Fundamentals of Geophysical Data Processing. Online version at sepwww.stanford.edu, accessed on 2010-03-14. Diu el següent
on les són els valors propis de , i les matrius
són els covariants de Frobenius corresponents a , que són la matriu (projecció) dels polinomis de Lagrange de .
Condicions La fórmula de Sylvester es pot aplicar en matrius diagonalitzables amb valors propis diferents, 1, …, λk, i amb qualsevol funció definida en algun subconjunt dels nombres complexos tal que estigui ben definida. Aquesta darrera condició significa que tot valor propi es troba en el domini de , i que tot valor propi amb multiplicitat i > 1 es troba a l'interior del domini, sent () vegades diferenciable en .
Exemple Consideri's la matriu 2 per 2
Aquesta matriu té 2 valors propis: 5 i −2. Els seus covariants de Frobenius són
La fórmula de Sylvester és doncs
Per exemple, si és definit com , llavors la fórmula de Sylvester expressa la inversa de la matriu com
Generalització La fórmula de Sylvester només és vàlida per matrius diagonalitzables. Una extensió atribuïda a A. Buchheim, basada en polinomis d'interpolació de Hermite, cobreix el cas general: , on .
Schwerdtfeger va donar-ne una forma concisa , on i són els covariants de Frobenius corresponents a
Vegeu també Matriu d'adjunts Càlcul funcional holomorf Resolvent
Referències
Bibliografia F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices v I (Chelsea Publishing, NY, 1960) , pp 101-103
Categoria:Àlgebra lineal