En matemàtiques, la funció zeta de Hurwitz, anomenada així per Adolf Hurwitz, és una de les moltes funcions zeta. Es defineix formalment per a arguments complexos s amb Re(s) > 1 i q amb Re(q) > 0 per a
Aquesta sèrie és absolutament convergent per als valors donats de s i q i es pot estendre a una funció meromorfa definida per a tot s≠1. La funció zeta de Riemann és ζ(s,1).
Continuació analítica Si la funció zeta de Hurwitz es pot definir per l'equació
on el contorn és un llaç al voltant de l'eix real negatiu. Això proporciona una continuació analítica de .
La funció zeta de Hurwitz es pot ampliar mitjançant la continuació analítica a una funció meromorfa definida per a tots els complexos amb . A té un pol simple amb residu . El terme constant ve donat per
on és la funció gamma i és la funció digamma.
Representació en sèries miniatura|Funció zeta de Hurwitz com a funció q amb . Una representació convergent de la sèrie de Newton definida per a q > 0 (real) i qualsevol complex s ≠ 1 va ser donada per Helmut Hasse el 1930:
Aquesta sèrie convergeix uniformement en subconjunts compactes del pla s a tota una funció. Es pot entendre que la suma interior és l'enèsima diferència posterior de ; això és,
on Δ és l'operador de diferència posterior. Així, es pot escriure
Altres exemples que convergeixen a nivell global inclouen aquests exemples
on són els nombres Harmònics, són els nombres de Stirling de primera espècie, és el símbol de Pochhammer, són els coeficients de Gregory, són els coeficients de Gregori d'ordre superior i són els nombres de Cauchy de segona espècie (, , …).
Representació integral La funció té una representació integral en termes de la transformada de Mellin com
per a i
La fórmula de Hurwitz La fórmula de Hurwitz és el teorema que
on
és una representació de la zeta que és vàlida per a i s > 1. Aquí, és el polilogaritme.
Equació funcional L'equació funcional relaciona valors de la zeta als costats esquerre i dret del pla complex. Per a nombres enters ,
val per a tots els valors de s.
Algunes sumes finites Estretament relacionades amb l'equació funcional es troben les sumes finites següents, algunes de les quals es poden avaluar de forma tancada
on m és enter positiu major de 2 i s és complex (vegeu, per exemple, Apèndix B a Blagouchine, 2014)
Sèries de Taylor La derivada de la zeta en el segon argument és un canvi:
Així, la sèrie de Taylor es pot escriure com:
Alternativament,
amb .
Estretament relacionada està la fórmula Stark–Keiper:
que manté per a N senceres i s arbitràris. Vegeu també la fórmula de Faulhaber per a una relació similar sobre sumes finites de potències d'enters.
Sèries de Laurent L'expansió de la sèrie de Laurent es pot utilitzar per definir les constants de Stieltjes que es produeixen a la sèrie
Concretament i .
Transformada de Fourier La transformada discreta de Fourier de la funció zeta de Hurwitz respecte de l'ordre s és la funció khi de Legendre.
Relació amb els polinomis de Bernoulli La funció definida anteriorment generalitza els polinomis de Bernoulli:
on denota la part real de z. Alternativament,
En particular, la relació es manté i s'obté
Relacions amb altres funcions Relació amb la funció theta de Jacobi Si és la funció theta de Jacobí
es sosté per a i z complex, però no un nombre enter. Per a un nombre enter z=n, això simplifica
on ζ és la funció zeta de Riemann. Tingueu en compte que aquesta última forma és l'equació funcional de la funció zeta de Riemann, donada originalment per Riemann. La distinció basada en que z sigui un nombre enter o no té en compte que la funció theta de Jacobi convergeix a la funció delta periòdica, o pinta de Dirac, en z com a .
Relació amb les funcións L de Dirichlet Per arguments racionals, la funció zeta de Hurwitz es pot expressar com una combinació lineal de funcions L de Dirichlet i viceversa: la funció zeta de Hurwitz coincideix amb la funció zeta de Riemann ζ(s) quan q = 1, quan q = 1/2és igual a (2s−1)ζ(s), i si q = n/k amb k > 2, (n,k) > 1 i 0 < n < k, llavors
la suma que corre sobre tots els caràcters de Dirichlet mod k. En sentit contrari, tenim la combinació lineal
També hi ha el teorema de multiplicació
de les quals una generalització útil és la relació de distribució
(Aquesta última forma és vàlida sempre que q sigui nombre natural i 1 − qa no ho sigui).
Relació amb la funció poligamma La funció zeta de Hurwitz generalitza la funció poligamma per ordres no-senceres :
amb la constant d'Euler-Mascheroni .
Derivades Aplicant
amb i també i . http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/01/01/0001/
Les derivades respecte són :
per a i http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/02/01/0001/ utilitzant el Símbol de Pochhammer .
Zeros Si q=1, la funció zeta de Hurwitz es redueix a la funció zeta de Riemann.
Si q=1/2, es redueix a la funció zeta de Riemann multiplicada per una funció simple d'argument complex s (vegeu més amunt), donant lloc en cada cas al difícil estudi dels zeros de la funció zeta de Riemann. En particular, no hi haurà zeros amb una part real superior o igual a 1.
Tanmateix, si 0<q<1 i q≠1/20, hi ha zeros de la funció zeta de Hurwitz a la franja 1<Re(s)<1+ε per a qualsevol nombre real positiu ε. Això ho va demostrar Harold Davenport i Hans Heilbronn per a q irracional, racional o transcendent, i per Cassels per q irracional algebraic.Davenport (1967) p.73
Valors relacionals Es produeix la funció zeta de Hurwitz en diverses identitats sorprenents a valors racionals.Given by En particular, valors en termes dels polinomis d'Euler :
i
També s'obté
que manté . Aquí, el i es defineixen mitjançant la funció khi de Legendre com
i
Per a valors enters de ν, aquests poden ser expressats en termes dels polinomis d'Euler. Aquestes relacions es poden derivar mitjançant l'equació funcional juntament amb la fórmula de Hurwitz, que es dona més amunt.
Aplicacions La funció zeta de Hurwitz es presenta en diverses disciplines. El més comú es dona en la teoria de nombres, on la seva teoria és la més profunda i desenvolupada. Tot i això, també es produeix en l'estudi de fractals i sistemes dinàmics. En estadístiques aplicades, es produeix en la llei de Zipf i la llei Zipf-Mandelbrot. En física de partícules es produeix en una fórmula de Julian Schwinger, donant un resultat exacte per a la taxa de creació de parells d'un electró Dirac en un camp elèctric uniforme.
Casos especials i generalitzacions La funció zeta de Hurwitz amb un nombre enter positiu m està relacionada amb la funció poligamma:
Per a nombres enters negatius −n els valors estan relacionats amb els polinomis de Bernoulli:Apostol (1976) p.264
La funció zeta de Barnes generalitza la funció zeta de Hurwitz.
El transcendent de Lerch generalitza la funció zeta de Hurwitz:
i per tant
Funció hipergeomètrica
on
Funció G de Meijer
Referències
Bibliografia
Categoria:Funció zeta