miniatura|Els primers 100,000 elements de la seqüència an = ln(n) − n/π(n) (línia vermella) semblen convergir a un valor d'aproximadament 1.08366 (la línia blava). La constant de Legendre és una constant matemàtica que apareix en una conjectura d'Adrien-Marie Legendre que mostra el comportament asimptòtic de la funció de recompte de primers . Se sap actualment que el seu valor és 1.

Una anàlisi de les demostracions numèriques disponibles llavors sobre els nombres primers van fer sospitar a Legendre que satisfeia una fórmula aproximada.

Legendre va conjecturar l'any 1808 que:

on .... és la seqüència A228211 de l'OEIS.

O, cosa que és el mateix:

on B és la constant de Legendre. Va donar un valor a B de 1.08366, però més enllà del seu valor exacte, l'existència de B implica el teorema dels nombres primers.

Pafnuti Txebixov va demostrar l'any 1849Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, page 17. Third (corrected) edition, two volumes in one, 1974, Chelsea 1974 que si el límit B existeix, llavors ha de ser igual a 1. Una demostració més senzilla va ser desenvolupada per Pintz l'any 1980.J. Pintz. On Legendre's prime number formula. Amer. Math. Monthly 87 (1980), 733-735.

És una conseqüència immediata del teorema dels nombres primers, en una forma determinada i una estimació explícita del terme de l'error:

(per una certa constant positiva a, on O(…) és la notació de Landau), com va demostrar Charles de La Vallée Poussin l'any 1899,La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1-74, 1899 que B en efecte és igual a 1. (El teorema dels nombres primers havia estat demostrat l'any 1896, independentment per Jacques HadamardSur la distribution des zéros de la fonction et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, p. 199–220 Online i La Vallée Poussin,« Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, p. 183-256 et 281-361 però sense cap estimació del valor del terme error.

Tenint com a valor un nombre tan simple com la unitat, la constant de Legendre ha acabat tenint únicament valor històric, i algun cop (de forma tècnicament incorrecta) s'ha arribat a utilitzar per denotar el primer valor que li va donar Legendre 1.08366... enlloc de 1.

Pierre Dusart va demostrar, l'any 2010 que:

per , i

per . Això té la mateixa forma que:

amb .

Referències

Categoria:Nombres naturals Categoria:Constants matemàtiques