miniatura|Una superfície Seifert delimitada per un conjunt de nusos borromeus. Les superfícies de Seifert per a enllaços són una eina útil en topologia geomètrica La topologia geomètrica (topologia de dimensions baixes) és l'àrea de la topologia i la topologia algebraica que estudia problemes geomètrics, topològics i algebraics que sorgeixen en l'estudi de varietats de dimensions menors de 5, espais localment homeomorfs dels espais euclidians, des de dimensió zero fins a la quarta. Els seus mètodes s'inspiren en la geometria i la topologia de fenòmens físics inclusivament relativistes i quàntics, i idealitzacions abstractes modernes sobre el concepte de dimensions: sobretot en tres i quatre dimensions.
Per a aquesta ciència -que estudia les varietats i els encaixos, i els encaixos propis entre aquestes-, alguns dels temes representatius són: la teoria de nusos; classificació de 3 i 4-varietats; complements de nusos en la n-esfera, i la teoria topològica quàntica de camp.
La topologia de dimensions baixes (com també se la coneix) es considera una ciència de gran interactivitat entre totes la branques de la matemàtica i amb altres de la física. Una de les qüestions importants d'aquesta branca (resolta per Perelman al 2006) és la cèlebre conjectura de Poincaré i la conjectura de geometrització de Thruston.
Tòpics 1-varietats corba: parametrització d'un camí diferenciable entre dos punts en algun espai, trajectòria: gairebé com una corba, però no necessàriament diferenciable, només se'n demana continuïtat, circumferència o 1-esfera: qualsevol trajectòria, camí o corba tancada simple, grup fonamental: functor de la topologia algebraica que assigna a un espai, X, el seu grup fonamental
(X) {\displaystyle \pi _{1}(X)} nus: en l'espai X, és un subconjunt K de X, que és homeomorf a l'esfera u, enllaç: conjunt de components connexes, cada component homeomorfa a S {\displaystyle S^{1}} trena (braid): conjunt unidimensional que té el tipus homotòpic d'un wedge de circumferència, grup de trenes (braid group), nus tòric: corba tancada simple en la superfície del toro.
2-varietats superfície: la corfa d'objectes tridimensionals. Objectes localment homeomorfs a
2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} esfera, toro (matemàtiques), plànol projectiu: espai bidimensional construït en identificar la frontera d'una cinta de Möbius i la frontera d'un disc, ampolla de Klein: espai que es crea, en unir la frontera de dues cintes de Möbius, cèrcol o cilindre: I-bundle trivial sobre la 1-esfera, cinta de Möbius: fibrat no trivial per interval sobre un cercle (I-bundle over S¹), característica d'Euler: igual a nombre de vèrtexs menys nombre de costats, més nombre de cares. És invariant en posar més vèrtexs i, per tant, costats i cares, Plànol complex:
{\displaystyle \mathbb {C} } Plànol cartesià:
2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} Curvatura de superfícies: concepte de mesura de com es corben les superfícies localment, tenint com a patró l'esfera de ràdio r que es corba localment 1/r² en cadascun dels seus punts. Observeu que com més gran en sigael radi, la curvatura tendeix a zero (que és la curvatura del pla). Dit d'altra manera: un plànol és com una esfera de radi infinit.
3-varietats miniatura|Esquema simplificat d'una tres-varietat hiperbòlica
3-esfera o bé SU(2) espai projectiu fibrats de Seifert Surface Bundle esfera homològica conjectura de Poincaré SO(3) Políedres Politop regular Complement d'un nus gènere de Heegaard espai hiperbòlic
4-varietats espaitemps relativitat espai de Minkowski Pentàcoron
Varietats en general
Persones center|miniatura|800x800px|Celebritats de la topologia de dimensions baixes
Vegeu també Topologia algebraica Topologia diferencial
Enllaços externs En l'enciclopèdia en línia de Springer-Verlag.
Categoria:Topologia algebraica Categoria:Topologia Categoria:Articles amb traduccions sense revisar