En matemàtiques, un grup de Lie (pronunciat ) és un grup que és també una varietat diferenciable, amb la propietat que les operacions de grup són diferenciables. Els grups de Lie s'anomenen així en honor del matemàtic noruec Sophus Lie, qui va establir els fonaments de la teoria de grups de transformacions contínues.
En termes generals, un grup de Lie és un grup continu, és a dir, un grup els elements del qual són descrits per diversos paràmetres reals. Com a tals, els grups de Lie proporcionen un model natural per al concepte de simetria contínua, com ara la simetria rotacional en tres dimensions. Els grups de Lie són àmpliament utilitzats en molts àmbits de la física i les matemàtiques modernes. La motivació original de Lie per a introduir els grups de Lie fou proporcionar un model de les simetries contínues de les equacions diferencials, d'una manera similar a com s'utilitzen els grups finits en teoria de Galois per modelitzar les simetries discretes de les equacions algebraiques.
Introducció miniatura|El conjunt de tots els nombres complexos amb valor absolut 1 (corresponent a punts de la circumferència de centre 0 i radi 1 en el pla complex) és un grup de Lie sota la multiplicació complexa: el grup circular. Els grups de Lie són varietats diferenciables i, com a tals, es poden estudiar utilitzant càlcul diferencial, a diferència del cas més general dels grups topològics. Una de les idees clau en la teoria de grups de Lie és reemplaçar l'objecte global, el grup, amb la seva versió local o linealitzada, que el mateix Lie va anomenar el seu «grup infinitesimal» i que de llavors ençà es coneix com la seva àlgebra de Lie.
Els grups de Lie tenen un paper molt important en geometria moderna. Felix Klein va argumentar en el seu Programa d'Erlangen que hom pot considerar diverses "geometries" per especificar un grup de transformació apropiat que deixa invariants certes propietats geomètriques. Per això, la geometria euclidiana correspon a l'elecció del grup E(3) de transformacions que conserven la distància de l'espai euclidià R3, la geometria conforme correspon a ampliar el grup fins a arribar al grup conforme, mentre que en geometria projectiva hom s'interessa en les propietats invariants sota el grup projectiu. Aquesta idea portà més endavant a la noció de G-estructura, on G és un grup de Lie de les simetries "locals" d'una varietat.
Els grups de Lie (i les seves àlgebres de Lie associades) tenen una funció important en física moderna, on el grup de Lie juga típicament el rol d'una simetria d'un sistema físic. Aquí, les representacions del grup de Lie (o de la seva àlgebra de Lie) són especialment importants. La teoria de representacions s'utilitza extensament dins la física de partícules. Alguns grups que tenen representacions d'una importància particular són el grup de rotació SO(3) –o el seu recobriment doble SU(2)–, el grup unitari especial SU(3) i el grup de Poincaré.
En un àmbit "global", sempre que un grup de Lie actua sobre un objecte geomètric, com ara una varietat riemanniana o simplèctica, aquesta acció proporciona una mesura de la seva rigidesa, així com una rica estructura algebraica. La presència de simetries contínues expressades mitjançant una acció de grup de Lie sobre una varietat afegeix fortes restriccions en la seva geometria i en facilita l'anàlisi. Les accions lineals dels grups de Lie són especialment importants i s'estudien dins de la teoria de la representació.
En les dècades de 1940 i 1950, Ellis Kolchin, Armand Borel i Claude Chevalley es van adonar que molts resultats bàsics sobre els grups de Lie es poden desenvolupar completament de manera algebraica, donant lloc a la teoria de grups algebraics definits sobre un cos arbitrari. Aquesta idea va obrir possibilitats noves en l'àmbit de l'àlgebra pura, ja que proporcionava una construcció uniforme per a la majoria de grups simples finits, així com en geometria algebraica. La teoria de formes automòrfiques, una branca important de la teoria de nombres moderna, tracta extensament amb objectes anàlegs als grups de Lie sobre anells adèlics; els grups de Lie p-àdics juguen una funció important, a causa de les seves connexions amb les representacions de Galois dins la teoria de nombres.
Definicions Un grup de Lie real és un grup que és també una varietat real diferenciable de dimensió finita, on les operacions de multiplicació i inversió són aplicacions contínuament diferenciables. El fet que la multiplicació de grup
sigui contínuament diferenciable significa que μ és una aplicació contínuament diferenciable de la varietat producte en G. Aquests dos requisits es poden resumir en un de sol: que l'aplicació
sigui una aplicació contínuament diferenciable de la varietat producte sobre G.
Grups de Lie matricials Hom denota per el grup de les matrius invertibles de dimensió amb entrades en C. Qualsevol subgrup tancat de és un grup de Lie; Corol·lari 3.45 els grups de Lie d'aquest tipus s'anomenen grups de Lie matricials. Com que la majoria dels exemples interessants de grups de Lie es poden materialitzar com a grups de Lie matricials, alguns llibres de text es focalitzen exclusivament sobre aquests tipus, com ara Hall i Rossmann. Si es restringeix l'atenció al cas dels grups de Lie matricials, es pot simplificar significativament la definició de l'àlgebra de Lie i de l'aplicació exponencial. Aquests són alguns exemples típics de grups de Lie matricials:
Els grups lineals especials sobre R i C, i , consistents en matrius amb determinant igual a 1 i entrades a R o C Els grups unitaris i els grups unitaris especials, U(n) i SU(n), formats per matrius complexes que satisfan (i també en el cas de SU(n)) Els grups ortogonals i els grups ortogonals especials, O(n) i SO(n), formats per matrius reals que satisfan (i també en el cas de SO(n))
Tots els exemples anteriors es consideren grups clàssics.
Conceptes relacionats Un grup de Lie complex es defineix de forma anàloga, fent servir varietats complexes en comptes de reals (exemple: SL(2, C)) i, de manera similar, utilitzant una compleció mètrica alternativa de Q, hom pot definir un grup de Lie p-àdic sobre els nombres p-àdics, un grup topològic on cada punt té un entorn p-àdic. El Cinquè Problema de Hilbert es pregunta si, quan se substitueixen les varietats diferenciables per varietats topològiques o analítiques, se'n poden trobar altres exemples de grups de Lie. La resposta a aquesta qüestió és negativa: l'any 1952, Gleason, Montgomery i Zippin van demostrar que si G és una varietat topològica amb operacions de grup contínues, llavors existeix exactament una estructura analítica en G que el converteix en un grup de Lie (vegeu també la conjectura de Hilbert–Smith). Si la varietat subjacent pot ser de dimensió finita (per exemple, una varietat de Hilbert), llavors hom obté la noció d'un grup de Lie de dimensió infinita. És possible definir anàlegs de molts grups de Lie sobre cossos finits, i aquests proporcionen la majoria dels exemples de grups finits simples.
El llenguatge de la teoria de categories proporciona una definició concisa per als grups de Lie: un grup de Lie és un objecte grup en la categoria de les varietats diferenciables. Aquest és un fet important, perquè permet generalitzar la idea d'un grup de Lie a la de supergrups de Lie.
Definició topològica Hom pot definir un grup de Lie com un grup topològic (de tipus Hausdorff) que, a prop de l'element identitat, sembla un grup de transformació; així no cal fer referència a varietats diferenciables. Primer, es defineix un grup de Lie lineal immers com un subgrup G del grup general lineal tal que: per a algun entorn V de l'element identitat e de G, la topologia de V és la topologia subespai de i V és tancat a . G té, com a molt, un nombre comptable de components connexes.
(un exemple d'un tal subgrup és un subgrup tancat qualsevol de ; és a dir, un grup de Lie matricial satisfà les condicions anteriors.)
Llavors un grup de Lie es defineix com un grup topològic que és localment isomorf prop de les identitats a un grup de Lie lineal immers, i té com a màxim un nombre comptable de components connexes.
La definició topològica implica el teorema que afirma que si dos grups de Lie són isomorfs com a grups topològics, llavors són isomorfs com a grups de Lie. De fet, implica l'afirmació més general que la topologia d'un grup de Lie, juntament amb la llei de grup, determina la geometria del grup.
Exemples Dimensions 1 i 2 Els únics grups de Lie connexos de dimensió 1 són la recta real R (on l'operació de grup és la suma), i el grup circular S¹ dels nombres complexos amb valor absolut 1 (on l'operació de grup és la multiplicació). És habitual denotar el grup S¹ com a U(1), el grup de matrius unitàries 1×1.
En dues dimensions, si hom es focalitza en els grups simplement connexos, llavors es poden classificar segons la seva àlgebra de Lie. Llevat d'isomorfisme, només hi ha dues àlgebres de Lie de dimensió 2. Els respectius grups de Lie simplement connexos són R² (on l'operació de grup és la suma de vectors) i el grup afí de dimensió 1.
Exemples addicionals El grup SU(2) és el grup de matrius unitàries 2×2 amb determinant 1. Topològicament, SU(2) és la 3-esfera S3; com a grup, es pot identificar amb el grup de quaternions unitaris. El grup de Heisenberg és un grup de Lie nilpotent connex de dimensió 3, que juga un rol fonamental en mecànica quàntica. El grup de Lorentz és un grup de Lie de dimensió 6 de les isometries lineals de l'espai de Minkowski. El grup de Poincaré és un grup de Lie de dimensió 10 de les isometries afins de l'espai de Minkowski. Els grups de Lie excepcionals dels tipus G₂, F₄, E₆, E₇ i E₈ tenen dimensions 14, 52, 78, 133 i 248, respectivament. Juntament amb la sèrie A-B-C-D de grups de Lie simples, els grups excepcionals completen la llista de grups de Lie simples. El grup simplèctic està format per totes les matrius que conserven una forma simplèctica en R2n. És un grup de Lie connex de dimensió 2n² + n. Les matrius invertibles reals 2×2 formen un grup amb la multiplicació, denotat per GL(2, R) o per GL₂(R):
Aquest és un grup de Lie real de dimensió 4 no compacte; és un subconjunt obert de R4. Aquest grup és no connex; té dues components connexes que corresponen als valors positius i negatius del determinant.
Les matrius de rotació formen un subgrup de , denotat per SO(2, R). És un grup de Lie destacable: concretament, un grup de Lie connex compacte unidimensional que és difeomorf a la circumferència. Si hom utilitza l'angle de rotació com a paràmetre, aquest grup es pot parametritzar de la manera següent:
L'operació de suma d'angles correspon a la multiplicació dels elements de , i el fet de prendre l'angle oposat correspon a la inversió matricial. Per això, tant la multiplicació com la inversió són aplicacions diferenciables.
El grup afí de dimensió u és un grup de Lie matricial bidimensional, que consisteix en les matrius 2×2 reals, triangulars superiors, i on la primera entrada de la diagonal és positiva i la segona entrada és igual a 1. Així, el grup conté matrius de la forma:
Construccions Hi ha diverses formes de crear grups de Lie nous a partir d'altres de ja existents:
El producte de dos grups de Lie és un grup de Lie. Qualsevol subgrup topològicament tancat d'un grup de Lie és un grup de Lie. Això es coneix com el teorema del subgrup tancat o el teorema de Cartan. El quocient d'un grup de Lie per un subgrup normal tancat és un grup de Lie. El revestiment universal d'un grup de Lie connex és un grup de Lie. Per exemple, el grup R és el revestiment universal del grup circular S¹. De fet, qualsevol revestiment d'una varietat diferenciable és també una varietat diferenciable, però si addicionalment és un revestiment universal, hom pot garantir una estructura de grup (compatible amb les seves altres estructures).
Contraexemples