miniatura|Figura 1. Funció de distribució de la distribució normal. miniatura|Figura 2. Funció de densitat de probabilitat per a diverses distribucions normals. La corba vermella segueix la distribució normal estàndard, amb mitjana zero i variància la unitat. En teoria de la probabilitat i estadística, la funció de distribució (també funció de distribució acumulada, o CDF pel seu acrònim en anglès cumulative distribution function) d'una variable aleatòria real, avaluada en , és la probabilitat que prengui un valor inferior o igual a . La funció de distribució determina totes les probabilitats relatives a la variable aleatòria. Les funcions de distribució són importants perquè són funcions ordinàries, en contrast amb les probabilitats, que són funcions de conjunts, i llavors les eines de l'Anàlisi matemàtica clàssica poden aplicar-se a estudiar les probabilitats corresponents a les variables aleatòries.
En el cas de les distribucions absolutament contínues, la funció de distribució en el punt és igual a l'àrea sota la funció de densitat de probabilitat de menys infinit a . Les funcions de distribució multidimensionals o multivariants serveixen per especificar les probabilitats dels vectors aleatoris o variables aleatòries multivariades.
Definició Considerem un espai de probabilitat .
Observació. Alguns autors defineixen la funció de distribució canviant a l'expressió (*) el menor o igual per un menor estricte: . El conveni que hem adoptat és el més habitual actualment. Cal tenir-ho present, ja que l'ús correcte de les taules de les variables discretes com les de la distribució binomial o la de Poisson depèn d'aquest conveni. És més, fórmules importants com la fórmula d'inversió de Paul Lévy per a la funció característica també es basen en aquesta formulació.
Si es tracta amb diverses variables aleatòries , , etc. aleshores s'escriu , , etc. per indicar les funcions de distribució respectives. El conveni marca l'ús de la majúscula per a la funció de distribució, en contrast amb la minúscula usada per a les funcions de densitat de probabilitat (cas absolutament continu) i les funcions de probabilitat o de repartiment de massa de probabilitat (cas discret). Això s'aplica quan es treballa amb distribucions generals: algunes distribucions específiques tenen la seva pròpia notació, com és el cas de la distribució normal, on la funció de distribució d'una variable normal estàndard s'acostuma a designar per
miniatura|Figura 3. De dalt a baix:la funció de distribució d'una distribució de probabilitat discreta, d'una distribució de probabilitat contínua i d'una distribució que té una part discreta i una de contínua.
Propietats Totes aquestes propietats es troben demostrades, per exemple, a 1. és una funció monòtona no decreixent (també es diu creixent): si aleshores . 2. és contínua per la dreta. 3. Observacions (a) Aquestes tres propietats són importants perquè caracteritzen les funcions de distribució de les variables aleatòries: Donada una funció que compleixi aquestes tres propietats, llavors és la funció de distribució d'una variable aleatòria, és a dir, es pot construir un espai de probabilitat i definir-hi una variable aleatòria que tingui aquesta funció com a funció de distribució. (b) Quan la funció de distribució es defineix per , aleshores la funció és contínua per l'esquerra.
4. Com que és monòtona, en tot punt existeix el límit per l'esquerra. El límit per l'esquerra en el punt el designarem per :
5. Probabilitat que pertanyi a diversos tipus d'intervals: (a) (b) on és el límit per l'esquerra de en el punt . (c) és a dir, té una discontinuïtat al punt si només si . (d) (e)
6. La funció té, com màxim, un nombre numerable de punts de discontinuïtat.
Funcions de distribució de variables discretes, absolutament contínues i mixtes Funció de distribució d'una variable discreta Si X és una variable aleatòria discreta, que pren valors amb probabilitats (funció de probabilitat), llavors la funció de distribució de X serà discontínua en els punts xi i
Es diu que és una funció de distribució discreta, o una funció de salts o purament discontínua. Exemple. Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb c i una creu amb s. Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares (cc), una cara seguida d'una creu (cs), una creu seguida d'una cara (sc) i dues creus (ss). Així,Sigui X la variable aleatòria que compta el nombre de cares obtingudes en el llançament. És a dir, X és la següent funció:donada per
És una variable discreta, ja que només pot prendre els valors 0, 1 i 2. alt=Exemple de la funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta|miniatura|Figura 4. Funció de probabilitat La funció de probabilitat és . Vegeu la Figura 4. La funció de distribució ve donada per. alt=Exemple de la funció de distribució d'una variable discreta|miniatura|Figura 5. Funció de distribució. Vegeu la Figura 5.
Observació. A l'exemple anterior, així com en els casos més habituals, com la distribució binomial o la de Poisson, la funció de distribució és esglaonada, però en general no és així. El següent exemple és de Loeve: sigui una ordenació dels nombres racionals, i sigui una variable aleatòria tal que Aleshores la corresponent funció de distribució no és esglaonada; de fet, ni tan sols es pot dibuixar. (Recordeu que , on és la funció zeta de Riemann.)
Funció de distribució d'una variable absolutament contínua Recordem que una variable aleatòria es diu que és absolutament contínua o que té densitat (també que és contínua), si existeix una funció que compleix 1.
2. és integrable i és a dir, l'àrea total entre la gràfica de la funció de densitat i l'eix d'abscisses és 1. Vegeu la Figura 6.alt=L'àrea sota la corba de la funció de densitat és 1|miniatura|Figura 6. L'àrea entre la corba de la funció de densitat i l'eix d'abscisses és 1.
3. Per a , És a dir, la probabilitat que la variable prengui un valor de l'interval és l'àrea de la zona limitada pel gràfic de la funció, l'eix de les x i l les rectes x=a i x=b.Vegeu la Figura 7. alt=Relació entre la probabilitat i l'àrea sota la corba de la funció de densitat|miniatura|Figura 7. Relació entre la probabilitat i l'àrea sota la corba de la funció de densitat Llavors, Vegeu a la Figura 1 quatre funcions de distribució de variables normals i a la Figura 2 les corresponents funcions de densitat.
Funció de distribució d'una variable aleatòria de tipus mixt alt=Mecanisme aleatori que genera una variable aleatòria mixta|miniatura|Figura 8. Mecanisme aleatori que genera una variable aleatòria mixta Hi ha variables aleatòries que són una combinació dels dos tipus anteriors. Per exemple, considerem un mecanisme aleatori com el de la Figura 8: si l'agulla va a parar a la zona de l'esquerra (àrea grisa) aleshores s'obté un 0; si va a parar a la zona de la dreta, aleshores s'obté un nombre decimal entre 0 i 1 amb distribució uniforme. Anomenen el resultat, que és una variable aleatòria que pot prendre un nombre no numerable de valors i, per tant, no és discreta, però d'altra banda , i tampoc és contínua. La funció de distribució valdrà:alt=Funció de distribució d'una variable de tipus mixt|miniatura|Figura 9. Funció de distribució d'una variable de tipus mixt Vegeu la Figura 9.
Més exemples Suposem que és una distribució uniforme en l'interval unitat [0, 1]. Llavors la seva funció de distribució serà:
Suposem ara que pren només els valors discrets 0 i 1, amb igual probabilitat, és a dir una distribució de Bernoulli amb probabilitat d'èxit de 0.5. Llavors la funció de distribució de vindrà donada per:
Descomposició de funcions de distribució En aquesta secció estudiarem l'estructura de les funcions de distribució, però partint directament d'aquestes funcions, és a dir, de les funcions que compleixen les propietats 1,2 i 3 de la secció Propietats, i recuperarem, des d'un punt de vista més general, allò que hem estudiat a la secció Funcions de distribució de variables discretes, absolutament contínues i mixtes.
Primera descomposició Tal com hem comentat, una funció de distribució només té un nombre finit o infinit numerable de punts de discontinuïtat; sigui , amb el conjunt de punts de discontinuïtat de la funció de distribució , i designem per el salt de la funció en el punt : Definim
La funció compleix les propietats 1,2 i 3 de la definició de funcions de distribució, excepte que Quan aleshores es diu que la funció de distribució és discreta; concretament,
Quan direm que és una funció de distribució defectiva (o impròpia). Definim araLlavors també és una funció de distribució, defectiva, si . Però, a més, com que hem eliminat totes les discontinuïtats de , tenim que és contínua: en tot punt ,
Propietat. Tota funció de distribució es descompon de forma única en suma de dues funcions de distribució (potser defectives), on és contínua i una funció discreta.
Podem normalitzar les funcions i per tal d'obtenir una descomposició amb funcions de distribució: Suposem que Definim que són ambdues funcions de distribució. Quan llavors prenem , i quan llavors prenem .
Funcions de distribució singulars Considerem una funció monòtona creixent. Aleshores un conegut teorema de Lebesgue afirma que es pot derivar en quasi tots els punts (Lebesgue), la funció derivada és mesurable (Lebesgue) i per qualsevol , on a l'integral és una integral de Lebesgue.
Llavors, una funció de distribució té derivada en quasi tots punts.
Observació. Qualsevol funció de distribució esglaonada (per exemple, la d'una variable binomial o Poisson) és singular. El que és interessant és que existeixen distribucions contínues singulars: per exemple, la distribució de Cantor construïda a partir de la funció de Cantor té una funció de distribució que és contínua, però la seva derivada és zero quasi en tots els punts. Es tracta d'una funció de distribució singular.
Funcions de distribució absolutament contínues Recordem que una funció es diu que és absolutament contínua si donat qualsevol existeix tal que per qualsevol família finita d'intervals oberts disjunts dos a dos tals que es té que Les funcions de distribució que compleixen la propietat anterior es poden identificar amb les integrals indefinides de Lebesgue. Concretament tenim
Evidentment, aquest teorema també val per funcions de distribució defectives.
Segona descomposició Continuant amb les notacions de la primera descomposició, suposem que la part contínua no és nul·la: i considerem la seva derivada . Definim la component absolutament contínua de per Finalment, definim la component singular per Cal notar que és contínua singular. Ajuntant-ho amb la primera descomposició tenim:
Propietat. Tota funció de distribució es descompon de forma única en suma de tres funcions de distribució (potser defectives),on és una funció discreta, absolutament contínua i és contínua singular.
Igual que hem fet amb la primera descomposició, si suposem i podem definir i llavors tenim on Fem uns convenis anàlegs als de la primera descomposició quan i són 0 o 1. Tenim:
Llavors:
Si (i naturalment els altres paràmetres 0) llavors és una funció de distribució discreta. Si llavors és una funció de distribució contínua. - Si llavors és una funció de distribució absolutament contínua. - Si llavors és una funció de distribució singular contínua.
Exemple. Considerem de nou l'exemple que hem vist de la variable aleatòria de tipus mixt. La seva funció de distribució és (vegeu la Figura 9). Aquesta funció té una discontinuïtat en el punt 0, amb un salt d'altura 1/2. Llavors,
Notem que es tracta d'una funció de distribució defectiva ja que . La part absolutament contínua és definida per la densitat (defectiva, ja que la seva integral sobre tot no és 1)Normalitzant aquestes funcions defectives tenim on i té funció de densitat