En matemàtiques, la fórmula límit de Kronecker clàssica descriu el terme constant per s = 1 d'una sèrie real analítica d'Eisenstein (o funció zeta d'Epstein) d'acord amb els termes de la funció eta de Dedekind. Es poden generalitzar amb sèries d'Eisenstein més complicades. Són anomenades així en honor del matemàtic alemany Leopold Kronecker (1823-1891).
Primera fórmula límit de Kronecker La primera fórmula límit de Kronecker és
on
E(τ,s) és la sèrie real analítica d'Eisenstein, donada per
per a , i per continuïtat analítica per a diferents valors del nombre complex s. γ és la constant d'Euler-Mascheroni τ = x + iy amb y > 0. , amb q = e2π i τ, és la funció eta de Dedekind.
Per tant, la sèrie d'Eisenstein admet un pol s = 1 de residu π, i la (primera) fórmula límit de Kronecker dona el terme constant de la sèrie de Laurent en aquest pol.
Segona fórmula límit de Kronecker La segona fórmula límit de Kronecker és
on u i v són reals no enters. q = e2π i τ i qa = e2π i aτ p = e2π i z i pa = e2π i az
per , i es defineix per la continuïtat analítica per a diferents valors del nombre complex s.
Referències
Vegeu també Funció de Herglotz-Zagier
Enllaços externs
Categoria:Formes modulars Categoria:Teoria de nombres