En geometria euclidiana, el teorema de Ptolemeu és una relació entre els quatre costats i dues diagonals d'un quadrilàter cíclic (un quadrilàter els vèrtexs del qual es troben en un cercle comú). El teorema rep el nom de l'astrònom i matemàtic grec Ptolemeu (Κλαύδιος Πτολεμαῖος; Claudius Ptolemaeus). Ptolemeu va utilitzar el teorema com a ajuda per crear la seva taula de cordes, una taula trigonomètrica que va aplicar a l'astronomia.
Si els vèrtexs del quadrilàter cíclic són A, B, C i D en ordre, aleshores el teorema diu que:
on les línies verticals denoten la longitud dels segments de línia entre els vèrtexs anomenats. Aquesta relació es pot expressar verbalment de la següent manera:
A més, la inversa del teorema de Ptolemeu també és certa:
El text de Ptolemeu Text grec del Llibre I, capítol 10 de l'Almagest diu:
Enunciats moderns
Es pot estendre a una equivalència:
Es pot estendre a punts d'una línia i, de manera més general, s'indica de la següent manera:
Exemples Triangle equilàter El teorema de Ptolemeu dona com a corol·lari un bonic teorema sobre un triangle equilàter inscrit en una circumferència.
Donat un triangle equilàter inscrit en una circumferència i un punt sobre la circumferència.
La distància del punt al vèrtex més llunyà del triangle és la suma de les distàncies del punt als dos vèrtexs més propers.
: és conseqüència immediata del teorema de Ptolemeu:
Quadrat Qualsevol quadrat pot estar inscrit en una circumferència, el centre del qual és el centre del quadrat. Si la longitud comuna dels seus quatre costats és igual a aleshores la longitud de la diagonal és igual a segons el teorema de Pitàgores i la relació òbviament es manté.
Rectangle De manera més general, si el quadrilàter és un rectangle amb els costats a i b i la diagonal d aleshores el teorema de Ptolemeu es redueix al teorema de Pitàgores. En aquest cas el centre de la circumferència coincideix amb el punt d'intersecció de les diagonals. El producte de les diagonals és llavors d2, el costat dret de la relació de Ptolemeu és la suma a2 + b2.
Copèrnic, que va utilitzar àmpliament el teorema de Ptolemeu en el seu treball trigonomètric, es refereix a aquest resultat com un «porisme» o corol·lari evident:
Pentàgon Un exemple més interessant és la relació entre la longitud a del costat i la longitud (comuna) b de les 5 cordes d'un pentàgon regular.
En completar el quadrat, la relació dona la proporció àuria:La Proposició 8 del Llibre d'Elements d'Euclides demostra amb triangles similars el mateix resultat: és a dir, que la longitud a (el costat del pentàgon) divideix la longitud b (unint vèrtexs alternatius del pentàgon) en «proporció mitjana i extrema».
Costat del decàgon Si ara es dibuixa el diàmetre AF en bisectant DC de manera que DF i CF siguin els costats c d'un decàgon inscrit, es pot tornar a aplicar el teorema de Ptolemeu,
aquesta vegada al quadrilàter cíclic ADFC amb el diàmetre d com una de les seves diagonals:
on és la proporció àuria. I de manera anàloga, la Proposició 9 del Llibre d'Elements d'Euclides demostra amb triangles semblants que la longitud c (el costat del decàgon) divideix el radi en «proporció mitjana i extrema».
d'on s'obté el costat del decàgon inscrit en funció del diàmetre del cercle. El teorema de Pitàgores aplicat al triangle rectangle AFD dona llavors «b» en termes de diàmetre i «a» el costat del pentàgonA la referència següent es pot trobar un article interessant sobre la construcció d'un pentàgon regular i la determinació de la longitud dels costats: es calcula després com:
Com va escriure Copèrnic (seguint Ptolemeu),
Demostracions Demostració visual La següent animació mostra una demostració visual del teorema de Ptolemeu, basada en [Derrick i Herstein 2012, p. 386]:
Demostració per semblança de triangles Sigui ABCD un quadrilàter cíclic. A la corda BC, els angles inscrits ∠BAC = ∠BDC, i en AB, ∠ADB = ∠ACB. Es construeix K sobre AC de manera que ∠ABK = ∠CBD; a partir de ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.
Ara, pels angles comuns △ABK és semblant a △DBC, i així mateix △ABD és semblant a △KBC. Llavors AK/AB = CD/BD, i CK/BC = DA/BD; de manera equivalent, AK⋅BD = AB⋅CD, i CK⋅BD = BC⋅DA. Sumant dues igualtats tenim AK⋅BD + CK⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA, i factoritzant això dona (AK+CK)·BD = AB⋅CD + BC⋅DA. Però AK+CK = AC, com AC⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA, Q.E.D..
La demostració tal com està escrita només és vàlida per a quadrilàters cíclics simples. Si el quadrilàter s'autocreua, K estarà situat fora del segment de línia AC. Però en aquest cas, AK−CK = ±AC, donant el resultat esperat.
Demostració amb identitats trigonomètriques
Fem que els angles inscrits delimitats per , i siguin, respectivament, , i , i el radi del cercle sigui . Llavors tenim , , , , i , i la igualtat original a demostrar es la transformem en
d'on el factor ha desaparegut dividint els dos costats de l'equació per aquest.
Ara utilitzant les fórmules de suma, i , és trivial demostrar que ambdós costats de l'equació anterior són iguals a
Q.E.D.
Aquí hi ha una altra prova, potser més transparent, utilitzant una trigonometria rudimentària.
Definim un nou quadrilàter inscrit en el mateix cercle, on són els mateixos que a , i , estirat en la mateixa corda que , és definit per , .
Llavors, té les mateixes longituds d'arestes i, per tant, els mateixos angles inscrits delimitats per les arestes corresponents, com , només en un ordre diferent. Això és, , i , per, respectivament, i . També, i tenen la mateixa àrea. Llavors,
Q.E.D.
Demostració per inversió Triem un cercle auxiliar de radi centrat en D respecte al qual el circumcicle d'ABCD s'inverteix en una línia (vegeu la figura següent).
Aleshores Llavors i també es pot expressar com , i respectivament. Multiplicant cada terme per i utilitzant dona la igualtat de Ptolemeu.
Q.E.D.
S'ha de tenir en compte que si el quadrilàter no és cíclic, llavors A', B' i C' formen un triangle i, per tant, A'B'+B'C' > A'C', donant-nos una demostració molt senzilla de la desigualtat de PtolemeuLa desigualtat de Ptolemeu afirma que la part de l'esquerra de la igualtat anterior és sempre major o igual a la de la dreta. Els únics casos d'igualtat que admet són quan el quadrilàter és cíclic. Això també es pot interpretar a conseqüència de la fórmula de Bretschneider (vegeu Fórmula de Brahmagupta). que es presenta a continuació.
Demostració usant nombres complexos Inserim ABCD en mitjançant la identificació com quatre punts diferents . Definim . Llavors
amb igualtat si i només si . Això demostra la desigualtat de Ptolemeu en general, ja que només queda demostrar que es troben disposats consecutivament sobre un cercle (possiblement de radi infinit, és a dir, una línia) en si i només si .
De la forma polar d'un nombre complex , s'obté
amb l'última igualtat si i només si ABCD és cíclic, ja que un quadrilàter és cíclic si i només si els angles oposats sumen .
Q.E.D.
S'ha de tenir en compte que aquesta demostració es fa de manera equivalent observant que la ciclicitat d'ABCD, és a dir, la suplementarietat i , és equivalent a la condició ; en particular hi ha una rotació de en què aquest és 0 (és a dir, els tres productes són nombres reals positius), i pel qual el teorema de Ptolemeu
llavors s'estableix directament a partir de la identitat algebraica simple
Corol·laris En el cas d'un cercle de diàmetre unitari, els costats de qualsevol quadrilàter cíclic ABCD són numèricament iguals als sinus dels angles i que delimiten.
De la mateixa manera, les diagonals són iguals al sinus de la suma del parell d'angles que delimiten. Aleshores podem escriure el teorema de Ptolemeu en la forma trigonomètrica següent:
Aplicant determinades condicions als angles delimitats i és possible derivar una sèrie de corol·laris importants utilitzant l'anterior com a punt de partida. En el que segueix és important tenir en compte que la suma d'angles .
Corol·lari 1. Teorema de Pitàgores Sigui i . Llavors
(ja que els angles oposats d'un quadrilàter cíclic són suplementaris). Aleshores:A De Revolutionibus Orbium Coelestium (DROC), Copèrnic no es refereix al teorema de Pitàgores pel seu nom, sinó que utilitza el terme «porisme», una paraula que en aquest context particular semblaria denotar una observació o una conseqüència òbvia d'un altre teorema existent. El «porisme» es pot veure a les pàgines 36 i 37 del DROC (Harvard electronic copy).
Corol·lari 2. La llei del cosinus Sigui . El rectangle del corol·lari 1 és ara un trapezi simètric amb diagonals iguals i un parell de costats iguals. Els costats paral·lels difereixen en longitud unitats, on:
En aquest cas, serà més fàcil tornar a l'enunciat estàndard del teorema de Ptolemeu:
La regla del cosinus per al triangle ABC.
Corol·lari 3. Angle compost sinus (+) Sigui
Llavors
Per tant,
Fórmula per a angle compost sinus (+).
Corol·lari 3. Angle compost sinus (-) Sigui . Llavors . Per tant,
Fórmula per a angle compost sinus (−).
Aquesta derivació correspon al Tercer Teorema tal com el narra Copèrnic després de Ptolemeu a Almagest. En particular, si es donen els costats d'un pentàgon (delimitats 36° a la circumferència) i d'un hexàgon (delimitats 30° a la circumferència), es pot calcular una corda delimitada 6°. Aquest va ser un pas crític en l'antic mètode de càlcul de taules de cordes.Per entendre el Tercer Teorema, compareu el diagrama de Copèrnic que es mostra a la pàgina 39 del De Revolutionibus Orbium Coelestium amb la derivació de sin(A-B) que es troba a la pàgina web Cut the knot.
Corol·lari 3. Angle compost cosinus (+) Aquest corol·lari és el nucli del Cinqué Teorema tal com el narra Copèrnic després de Ptolemeu a Almagest.
Sigui . Llavors . Per tant
Fórmula per a angle compost cosinus (+)
Tot i no tenir la destresa de la nostra notació trigonomètrica moderna, hauria de quedar clar dels corol·laris anteriors que en el teorema de Ptolemeu (o més simplement el Segon Teorema) el món antic tenia a la seva disposició una eina trigonomètrica extremadament flexible i poderosa que permetia amb el coneixement de la seva època elaborar taules de cordes precises (corresponents a taules de sinus) i utilitzar-les en els seus intents d'entendre i mapejar el cosmos tal com el veien. Com que Hiparc va elaborar taules de cordes tres segles abans de Ptolemeu, hem de suposar que coneixia el «Segon Teorema» i els seus derivats. Seguint el rastre dels antics astrònoms, la història registra el catàleg d'estrelles de Timocaris d'Alexandria. Si, com sembla probable, la compilació d'aquests catàlegs requeria una comprensió del «Segon Teorema», aleshores els veritables orígens d'aquest últim desapareixen després en la boira de l'antiguitat, però no pot ser descabellat suposar que els astrònoms, arquitectes i enginyers de construcció de l'antic Egipte podria haver-ne tingut algun coneixement.
Desigualtat de Ptolemeu L'equació del teorema de Ptolemeu mai és certa amb els quadrilàters no-cíclics. La desigualtat de Ptolemeu és una extensió d'aquest fet, i és una forma més general del teorema de Ptolemeu. Afirma que, donat un quadrilàter ABCD, aleshores
on la igualtat es compleix si i només si el quadrilàter és cíclic. Aquest cas especial és equivalent al teorema de Ptolemeu.
Teorema relacionat sobre la ràtio de les diagonals
El teorema de Ptolemeu dona el producte de les diagonals (d'un quadrilàter cíclic) coneixent els costats, el següent teorema dona el mateix per a la ràtio de les diagonals.
: se sap que l'àrea d'un triangle inscrita en un cercle de diàmetre és:
Si escrivim l'àrea del quadrilàter com la suma de dos triangles que comparteixen el mateix cercle circumscrit, obtenim dues relacions per a cada descomposició.
Igualant, obtenim la fórmula anunciada.
: Coneixent tant el producte com la relació de les diagonals, en deduïm les expressions immediates:
Ús per Ptolemeu