miniatura|Eduard Casas-Alvero en una conferència sobre la conjectura que porta el seu nom.
En matemàtiques, la Conjectura de Casas-Alvero és una conjectura en el camp de l'àlgebra de polinomis. Pren el seu nom del matemàtic català Eduard Casas Alvero, que va necessitar fer-ne servir l'enunciat l'any 2001 mentre treballava amb corbes planes complexes. Va ser batejada pel matemàtic càntabre González Vega en un treball de 2006, on la demostrava per polinomis de grau baix.
Enunciat Sigui P un polinomi de grau n sobre un cos de característica zero. Si P té un factor en comú amb totes les seves derivades P(i), amb , aleshores P ha de ser potència d'un factor lineal.
Enunciat formal Sigui un cos de característica 0 i sigui un polinomi de grau tal que
Aleshores té una única arrel de multiplicitat . Més precisament, existeixen i tals que
Enunciat formal alternatiu Sigui un cos de característica 0 i sigui un polinomi de grau tal que existeixen verificant
Aleshores i, per tant, té una única arrel de multiplicitat .
Polinomis de Casas-Alvero Arran d'aquesta conjectura, s'han anomenat polinomis de Casas-Alvero aquells polinomis les derivades dels quals tenen alguna arrel en comú amb el mateix polinomi. A partir d'aquesta definició, la conjectura es redueix a l'enunciat «tots els polinomis de Casas-Alvero són de la forma ».
Referències
Bibliografia
Categoria:Conjectures Categoria:Polinomis