En matemàtiques, la funció K, normalment escrit K(z), és una funció especial que constitueix una extensió a un domini complex de la seqüència de nombres enters hiperfactorials H(n) de Neil Sloane i Simon Plouffe, així com la funció gamma és una extensió complexa de la successió dels factorials.
Definició Formalment, la funció K es defineix com
També es pot donar en forma tancada com
on ζ'(z) denota la derivada de la funció zeta de Riemann, i ζ(a,z) denota la funció zeta de Hurwitz, i
Una altra funció, usant la funció poligamma, ésVictor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order
O usant la generalització equilibrada de la funció poligamma:Olivier Espinosa Victor H. Moll. A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, p. 101–115
on A és la constant de Glaisher-Kinkelin.
Més prosaicament, es pot escriure
o
El 2003, Benoit Cloitre va demostrar que
Relació amb la funció G-Barnes La funció K està estretament relacionada amb la funció gamma i amb la funció G-Barnes; per als nombres naturals n, tenim
També tenim
per a tot
Valors particulars Els primers valors de la funció són:Seqüència A002109 OEIS
K(0) = 1
K(1) = 1
K(2) = 4
K(3) = 108
K(4) = 27.648
K(5) = 86.400.000
K(6) = 4.031.078.400.000
K(7) = 3.319.766.398.771.200.000
K(8) = 55.696.437.941.726.556.979.200.000
K(9) = 21.577.941.222.941.856.209.168.026.828.800.000
K(10) = 215.779.412.229.418.562.091.680.268.288.000.000.000.000.000
El valor de ve donat per
on representa la constant de Glaisher-Kinkelin.
Notes
Referències
Enllaços externs
K