En matemàtiques, especialment en el camp de l'àlgebra abstracta, un anell de polinomis o àlgebra de polinomis és un anell (que també és una àlgebra commutativa) format a partir del conjunt de polinomis en una o més variables (o indeterminades) amb coeficients en un altre anell, sovint un cos. Els anells de polinomis s'han tractat vastament en diversos àmbits de les matemàtiques, com per exemple al teorema de la base de Hilbert, a la construcció de cossos de descomposició, o a la comprensió del funcionament dels operadors lineals. Moltes conjectures importants tenen a veure amb anells de polinomis, com la conjectura de Serre, i han influït l'estudi d'altres tipus d'anells, com els anells de grups o els anells de sèries formals de potències.
Un concepte relacionat és el d'anell de funcions polinòmiques sobre un espai vectorial.
L'anell de polinomis K[X] Definició Lanell de polinomis, K[X], en X sobre un cos K es defineix com el conjunt d'expressions, anomenades polinomis en X, de la forma
on , els coeficients de p, són elements de K, i X, X², són símbols formals ("les potències de X"). Per convenció, , , i el producte de les potències de X es defineix per la fórmula usual
on i són nombres naturals qualssevol. El símbol X s'anomena indeterminada o variable.
Es diu que dos polinomis són iguals si i només si els corresponents coeficients per a cada potència de X són iguals, encara que es poden afegir o descartar termes amb coeficient igual a zero, 0Xk.
Aquesta terminologia està motivada per la que es fa servir en funcions polinòmiques reals o complexes. Tot i això, en general, s'han de tractar X i les seves potències Xk com a símbols formals, no com a elements del cos K o com a funcions sobre el cos. Es pot interpretar que K[X] es construeix a partir de K mitjançant l'addició d'un nou element X extern a K, amb el requeriment que X commuti amb tots els elements de K.
L'anell de polinomis en X sobre K està dotat d'una addició, una multiplicació i una multiplicació per escalars que el converteixen en una àlgebra commutativa. Aquestes operacions estan definides segons les regles habituals de manipulació d'expressions algebraiques. Concretament, si
i , llavors
i , on = max(, ), = + ,
i .
En cas necessari, es poden completar els polinomis p i q amb la inclusió de termes amb coeficient 0, sense pèrdua de generalitat, de tal manera que les expressions per ri i si sempre estiguin definides. Concretament, si m < n, llavors pi = 0 per m < i ≤ n.
La multiplicació per escalars és un cas especial de la multiplicació on p = p0 i es redueix al seu terme independent de X, és a dir, .
És fàcil comprovar que aquestes tres propietats satisfan els axiomes d'una àlgebra commutativa. Per això els anells de polinomis també reben el nom dàlgebres de polinomis.
De vegades es fa servir una altra definició que, encara que és menys intuïtiva, sovint és més fàcil formalitzar-la rigorosament. Aquesta nova definició consisteix a definir un polinomi com una successió infinita d'elements de , , amb la propietat que només un nombre finit dels elements són no nuls, o, equivalentment, una successió per a la qual existeix un cert m tal que pn = 0 per n>m. En aquest cas, l'expressió
es considera una notació alternativa per a la successió .
Més en general, el cos K es pot substituir per qualsevol anell commutatiu R amb la mateixa construcció anterior, donant lloc així a lanell de polinomis sobre R, denotat per R[X].
Grau d'un polinomi El grau d'un polinomi p, simbolitzat per deg(p) (degree ) és el nombre k més gran tal que el coeficient de Xk és diferent de zero. En aquest cas, hom diu que el coeficient pk és el coeficient principal, (denotat per lc(p), leading coefficient). En el cas especial del polinomi nul, en què tots els coeficients són zero, alguns autors defineixen el grau com indefinit, definit igual a −1, o definit amb el símbol especial −∞.
Si K és un cos, o més en general un domini d'integritat, es compleix que, a partir de la definició de la multiplicació, . Una conseqüència immediata és que si K és un domini d'integritat, llavors K[X] també ho és.
Propietats de K[X] Factorització a K[X] La següent propietat de l'anell de polinomis és més profunda. Euclides ja va demostrar que tot enter positiu es pot factoritzar de manera única com a producte de nombres primers — aquest enunciat es coneix actualment com a teorema fonamental de l'aritmètica. La demostració està basada en l'algorisme d'Euclides per trobar el màxim comú divisor de nombres naturals. A cada pas de l'algorisme, cada parell (a, b), a > b, de nombres naturals se substitueix per un nou parell (b, r), on r és el residu de la divisió de a entre b, i els nous nombres són més petits. Gauss observà que aquest procediment de divisió amb residu es pot definir per a polinomis: donats dos polinomis p i q, on q ≠ 0, hom pot escriure
on el quocient u i el residu r són polinomis, el grau de r és menor que el grau de q, i tal que una descomposició amb aquestes propietats és única. El quocient i el residu es poden trobar emprant la divisió polinòmica. El grau del polinomi juga ara un rol similar al valor absolut d'un enter: és estrictament menor en el residu r que en el divisor q, i quan es repeteix aquest pas, aquest decrement ha de finalitzar en algun moment. Per tant, en algun moment la divisió serà exacta, i en aquell punt l'últim residu no nul és el màxim comú divisor dels dos polinomis inicials. Emprant l'existència dels màxims comuns divisors, Gauss va poder demostrar simultàniament el teorema fonamental de l'aritmètica per a enters i la seva generalització a polinomis. De fet, existeixen altres anells commutatius a part de Z i K[X] que també admeten un anàleg de l'algorisme euclidià; aquests anells reben el nom d'anells euclidians. Els anells pels quals existeix una factorització única (en un sentit apropiat) d'elements no nuls en factors irreductibles s'anomenen dominis de factorització única o anells factorials; la construcció que hem donat mostra que tots els anells euclidians, i en particular Z i K[X], són dominis de factorització única.
Un altre corol·lari de la divisió de polinomis amb residu és el fet que tot ideal propi I de K[X] és principal, és a dir, I està constituït dels múltiples d'un sol polinomi f. Per tant, l'anell de polinomis K[X] és un domini d'ideals principals, i per la mateixa raó tot domini euclidià és un domini d'ideals principals. També és cert que tot domini d'ideals principals és un domini de factorització única. Aquestes deduccions fan servir el fet que els coeficients dels polinomis pertanyen a un cos, en concret en el pas de la divisió polinòmica en què cal que el coeficient principal de q, que és no nul, tingui un invers. Si R és un domini d'integritat que no és un cos, llavors R[X] no és ni un domini euclidià ni un domini d'ideals principals; tot i això, encara pot ser un domini de factorització única (ho és si i només si el propi R és un domini de factorització única, per exemple si és Z o un altre anell de polinomis).
Anell quocient de K[X] L'anell K[X] de polinomis sobre K s'obté a partir de K per adjunció d'un element, X. Resulta que qualsevol anell commutatiu L que conté K i generat com a anell per un sol element afegit a K es pot descriure emprant K[X]. En particular, això és cert per a extensions de cossos finits de K.
Suposem que un anell commutatiu L conté K i que existeix un element θ de L tal que l'anell L està generat per θ sobre K. Així, qualsevol element de L és una combinació lineal de potències de θ amb coeficients a K. Aleshores hi ha un únic homomorfisme d'anells φ de K[X] en L que no afecta els elements de K (és l'aplicació d'identitat de K), i envia cada potència de X a la mateixa potència de θ. El seu efecte en el polinomi general és que "substitueix X per θ": .
Pel que hem suposat, qualsevol element de L apareix al segon membre de la igualtat anterior per a certs m enter i de K. Per tant, φ és exhaustiva i L és una imatge de K[X] per l'homomorfisme φ. Més formalment, sigui Ker φ el nucli de φ. És un ideal de K[X] i, pel primer teorema d'isomorfisme d'anells, L és isomorf al quocient de l'anell de polinomis K[X] per l'ideal Ker φ. Com que l'anell de polinomis és un domini d'ideals principals, aquest ideal és principal: existeix un polinomi p∈K[X] tal que .
Una aplicació particularment important és el cas on l'anell L és un cos. Llavors el polinomi p ha de ser irreductible. Recíprocament, el teorema de l'element primitiu afirma que qualsevol extensió de cossos finits separables L/K es pot generar per un sol element θ∈L, i la teoria anterior proporciona una descripció concreta del cos L com el quocient de l'anell de polinomis K[X] per un ideal principal generat per un polinomi irreductible p. Per exemple, el cos C de nombres complexos és una extensió del cos R de nombres reals generada per un sol element i tal que i² + 1 = 0. El polinomi X² + 1 és irreductible sobre R i .
Més en general, donat un anell A (no necessàriament commutatiu) que conté K, i donat un element a de A que commuta amb qualsevol element de K, existeix un únic homomorfisme d'anells de l'anell de polinomis K[X] en A que envia X cap a a: .
Aquest homomorfisme ve donat per la mateixa expressió que hem vist anteriorment, però no és exhaustiva en general. L'existència i unicitat d'aquest homomorfisme φ expressa una certa propietat universal de l'anell de polinomis en una variable i explica per què els anells de polinomis apareixen en diverses qüestions i construccions de la teoria d'anells i de l'àlgebra commutativa.
Mòduls El teorema d'estructura dels mòduls finitament generats sobre un domini d'ideals principals és cert sobre K[X]. Això significa que tot mòdul finitament generat sobre K[X] es pot descompondre en suma directa d'un mòdul lliure i un nombre finit de mòduls de la forma , on P és un polinomi irreductible sobre K, i k és un enter positiu.
Avaluació de polinomis Sigui K un cos o, més en general, un anell commutatiu, i sigui R un anell que conté K. Per a qualsevol polinomi P de K[X] i qualsevol element a de R, la substitució de X per a dins P defineix un element de R, denotat per P(a). Aquest element s'obté fent la substitució, i després realitzant, en R, les operacions indicades per l'expressió del polinomi. Hom diu que aquest càlcul és lavaluació de P en a. Per exemple, si tenim
llavors , i
(en el primer exemple, R = K, i en el segon exemple, R = K[X]). Si substituïm X per ella mateixa, tenim , la qual cosa justifica que les frases "Sigui P un polinomi" i "Sigui P(X) un polinomi" siguin equivalents.
Per a qualsevol a de R, l'aplicació defineix un homomorfisme d'anells de K[X] en R.
La funció polinòmica definida per un polinomi P és la funció de K en K definida per . Si K és un cos infinit, dos polinomis diferents defineixen funcions polinòmiques diferents, però si el cos és finit, això no és cert. Per exemple, si K és un cos amb q elements, llavors tant el polinomi 0 com el polinomi Xq - X defineixen la funció nul·la.
Anell de polinomis en diverses variables
Polinomis Un polinomi en n variables a coeficients en un cos K es defineix de forma anàloga al cas d'un polinomi en una variable, però la notació és lleugerament més complicada. Per a qualsevol multiíndex α = (α1, …, αn), on cada αi és un enter no negatiu, sigui .
El producte Xα s'anomena el monomi de multigrau α. Un polinomi és una combinació lineal finita de monomis amb coeficients de K , on , i només una quantitat finita de coeficients pα són diferents de 0. El grau d'un monomi Xα, simbolitzat habitualment per |α|, es defineix com , i el grau d'un polinomi p és el grau més gran d'entre aquells monomis que apareixen a l'expansió de p amb coeficient diferent de zero.
Anell de polinomis Els polinomis en n variables a coeficients en K formen un anell commutatiu, denotat per