En el camp matemàtic de la teoria de conjunts, laritmètica ordinal descriu les tres operacions habituals sobre nombres ordinals: addició, multiplicació i exponenciació. Cadascuna d'aquestes operacions es pot definir, bàsicament, de dues maneres: sigui construint un conjunt ben ordenat que representi l'operació, sigui per inducció transfinita. La forma normal de Cantor proporciona una manera estàndard d'escriure ordinals. Les així anomenades operacions aritmètiques "naturals" preserven la commutativitat a expenses de la continuïtat.

Addició La unió de dos conjunts disjunts ben ordenats S i T pot ser ben ordenada. El tipus d'ordre de la unió és l'ordinal que resulta de sumar els tipus d'ordre dS i de T. Si dos conjunts ben ordenats no són disjunts, llavors es poden substituir per conjunts disjunts isomorfs respecte de l'ordre, per exemple substituint S per {0} × S i T per {1} × T. Així, el conjunt ben ordenat S es pot escriure "a l'esquerra" del conjunt ben ordenat T, la qual cosa vol dir que es pot definir un ordre en en el qual tot element dS sigui més petit que qualsevol element de T. Els conjunts S i T conserven l'ordenació que tenen. L'addició dels tipus d'ordre és associativa i generalitza l'addició dels nombres naturals.

El primer ordinal transfinit és ω, el conjunt de tots els nombres naturals. Per exemple, l'ordinal ω + ω s'obté per dues còpies dels nombres naturals ordenats de la manera habitual, i on la segona còpia s'escriu completament a la dreta de la primera. Per exemple, si escrivim 0' < 1' < 2' < ... per a la segona còpia, ω + ω té la forma 0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ... Això és diferent de ω perquè, a ω, l'únic element que no té un predecessor directe és 0, mentre que a ω + ω tant 0 com 0' no tenen predecessors directes. Un altre exemple: escrivim 3 + ω i ω + 3: 0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ... 0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2' Després d'un canvi de notació, el primer conjunt té la mateixa forma que ω, és a dir, 3 + ω = ω, mentre que el segon conjunt és diferent: no és igual a ω perquè té un element màxim (en aquest cas, 2') mentre que ω no en té, de màxim. Per tant, aquesta addició no és commutativa. De fet, en general α+β és diferent de β+α: només són iguals si i només si α=γm, β=γn per a algun ordinal γ i per a alguns nombres naturals m i n. Addicionalment, la relació α+β = β+α és una relació d'equivalència sobre el conjunt d'ordinals no-nuls, i totes les seves classes d'equivalència són infinites numerables.

Tot i això, l'addició així definida és associativa; per exemple, hom pot veure que (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω.

Hom pot definir l'addició de forma inductiva (la següent definició utilitza inducció sobre β): α + 0 = α, α + (β + 1) = (α + β) + 1 (aquí, "+ 1" denota el successor d'un ordinal), i si β és un ordinal límit llavors α + β és el límit de α + δ per a tot δ < β.

Amb aquesta definició, es pot interpretar ω + 3 com un ordinal successor (és el successor de ω + 2), mentre que 3 + ω és un ordinal límit, concretament el límit de 3 + 0 = 3, 3 + 1 = 4, 3 + 2 = 5, etc., que és simplement ω.

Propietats El zero és una identitat additiva: α + 0 = 0 + α = α.

L'addició és associativa: (α + β) + γ = α + (β + γ).

L'addició és estrictament creixent i contínua en l'argument de la dreta:

però el mateix no és vàlid per a l'argument de l'esquerra; només es pot afirmar que

L'addició ordinal és cancel·lativa per l'esquerra: si α + β = α + γ, llavors β = γ. Addicionalment, hom pot definir una subtracció per l'esquerra per a ordinals β ≤ α: existeix un únic γ tal que α = β + γ. Per altra banda, la cancel·lació per la dreta no funciona: però La substracció per la dreta tampoc no funciona, encara que β ≤ α: per exemple, no hi ha cap γ tal que γ + 42 = ω.

Si els ordinals més petits que α formen un conjunt tancat per addició i conté el 0, llavors hom diu que α és un γ-nombre. Aquests són exactament els ordinals de la forma ωβ.

Multiplicació El producte cartesià S×T de dos conjunts ben ordenats S i T pot definir-se com ben ordenat mitjançant una variant de l'ordre lexicogràfic que col·loqui en primer lloc la posició menys significativa. A la pràctica, cada element de T es pot substituir per una còpia disjunta de S. El tipus d'ordre del producte cartesià és l'ordinal que resulta de multiplicar els tipus d'ordre dS i de T. De nou, aquesta operació és associativa i generalitza la multiplicació dels nombres naturals.

Aquest és ω·2: 00 < 10 < 20 < 30 < ... < 01 < 11 < 21 < 31 < ... que té el mateix tipus d'ordre que ω + ω. En canvi, 2·ω s'escriu com: 00 < 10 < 01 < 11 < 0₂ < 1₂ < 0₃ < 1₃ < ... que, després de reanomenar, és equivalent a ω. Per tant, ω·2 = ω+ω ≠ ω = 2·ω, la qual cosa il·lustra que la multiplicació d'ordinals no és commutativa. En general, un nombre natural més gran que 1 mai no commuta amb cap ordinal infinit, i dos ordinals infinits α, β commuten si i només si αm = βn per a alguns nombres naturals positius m i n. La relació "α commuta amb β" és una relació d'equivalència sobre els ordinals més grans que 1, i totes les classes d'equivalència són infinites numerables.

En aritmètica ordinal es compleix una distributivitat parcial: R(S+T) = RS+RT. En canvi, no es compleix, en general, l'altra llei distributiva (T+U)R = TR+UR: (1+1)·ω = 2·ω = ω mentre que 1·ω+1·ω = ω+ω, que és diferent. Per tant, els nombres ordinals formen un quasisemianell per l'esquerra, però no formen un anell.

Hom pot donar també la definició de la multiplicació de forma inductiva (la següent inducció és sobre β): α·0 = 0, α·(β+1) = (α·β)+α, i si β és un ordinal límit, llavors α·β és el límit de α·δ per δ < β.

Les propietats principals del producte són: α·0 = 0·α = 0. L'u (1) és una identitat multiplicativa: α·1 = 1·α = α. La multiplicació és associativa: (α·β)·γ = α·(β·γ). La multiplicació és estrictament creixent i contínua en el segon argument: (α < β i γ > 0) γ·α < γ·β La multiplicació no és estrictament creixent en l'argument de l'esquerra; per exemple, 1 < 2 però 1·ω = 2·ω = ω. Tot i això, és creixent (de forma no estricta), és a dir, α ≤ β α·γ ≤ β·γ. Existeix una llei de cancel·lació per l'esquerra: si α > 0 i α·β = α·γ, llavors β = γ. La cancel·lació per la dreta no funciona, és a dir, 1·ω = 2·ω = ω, però 1 i 2 són diferents. α·β = 0 α = 0 o β = 0. Llei distributiva per l'esquerra: α·(β+γ) = α·β+α·γ No es compleix la llei distributiva per la dreta, per exemple, (ω+1)·2 = ω+1+ω+1 = ω+ω+1 = ω·2+1 la qual cosa és diferent de ω·2+2. Divisió per l'esquerra amb residu: per a qualssevol α i β, si β > 0, llavors existeixen γ i δ únics tals que α = β·γ+δ i δ < β. (Això no significa que els ordinals siguin un domini euclidià, ja que ni tan sols formen un anell, i la "norma" euclidiana està avaluada sobre els ordinals.) La divisió per la dreta no funciona: no existeix cap α tal que α·ω ≤ ωω ≤ (α+1)·ω.

Un δ-nombre és un ordinal més gran que 1 tal que αδ=δ sempre que 0<α<δ. Aquests són exactament els ordinals de la forma ωωβ.

Exponenciació miniatura| Representació visual de ω², «omega còpies d'omega». Cada línia vertical és un ordinal de la forma ω·m + n, és a dir, l'element n-sim de la «còpia» m-sima de ω. La definició d'exponenciació ordinal per a exponents finits és bastant senzilla. Si l'exponent és un nombre finit, la potència és el resultat d'una multiplicació iterada. Per exemple, ω² = ω·ω usant l'operació de multiplicació ordinal. Notem que es pot definir ω·ω mitjançant el conjunt de funcions de 2 = {0,1} en ω = {0,1,2,...}, en ordre lexicogràfic, col·locant en primer lloc la posició menys significativa: (0,0) < (1,0) < (2,0) < (3,0) < ... < (0,1) < (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (0,2) < (1,2) < (2,2) < ... Per brevetat, s'ha substituït la funció {(0,k), (1,m)} pel parell ordenat (k, m).

Anàlogament, per a qualsevol exponent finit n, hom pot definir emprant el conjunt de funcions dn (el domini) en els nombres naturals (el codomini). Aquestes funcions es poden abreujar com n-ples de nombres naturals.

Però per a exponents infinits, la definició no és tan òbvia. Un ordinal límit, com ara ωω, és el suprem de tots els ordinals menors. Pot semblar natural definir ωω emprant el conjunt de totes les successions infinites de nombres enters. Però resulta que qualsevol ordre definit absolutament sobre aquest conjunt resulta no ser un bon ordre. Per tal de resoldre aquest problema, es pot utilitzar la variant de l'ordre lexicogràfic que hem vist abans. Restringim ara el conjunt a les successions que són no-nul·les per a un nombre finit d'elements. Això té una relació natural amb el límit de les potències finites de la base (semblant al concepte algebraic de coproducte). També podem pensar que és la unió infinita .

Cadascuna d'aquestes successions correspon a un ordinal menor que com ara , i és el suprem d'aquests ordinals menors.

L'ordre lexicogràfic definit sobre aquest conjunt és un bon ordre, que recorda l'ordre habitual dels nombres naturals escrits en notació decimal, en ordre invers, i amb nombres naturals arbitraris en comptes de només els dígits 0–9: (0,0,0…) < (1,0,0,0…) < (2,0,0,0…) < ... < (0,1,0,0,0…) < (1,1,0,0,0…) < (2,1,0,0,0…) < ... < (0,2,0,0,0…) < (1,2,0,0,0…) < (2,2,0,0,0…) < ... < (0,0,1,0,0,0…) < (1,0,1,0,0,0…) < (2,0,1,0,0,0…) < ...

En general, qualsevol ordinal α es pot elevar a la potència d'un altre ordinal β de la mateixa manera, per tal d'obtenir αβ. Per explicar això, emprarem la definició de Von Neumann de nombre ordinal com el conjunt de tots els ordinals menors que ell. Per tal de construir un conjunt de tipus d'ordre αβ, considerem totes les funcions de β en α tals que només un nombre finit d'elements del domini β s'apliquin sobre un element no-nul dα (essencialment, estem considerant les funcions amb suport finit). L'ordre és lexicogràfic amb la posició menys significativa primer. Trobem que 1ω = 1, 2ω = ω, 2ω+1 = ω·2 = ω+ω.

També es pot donar una definició inductiva per a l'exponenciació (la següent inducció és sobre β, l'exponent): α0 = 1, αβ+1 = (αβ)·α, i si δ és límit, llavors αδ és el límit de αβ per a tot β < δ.

Propietats α0 = 1. Si 0 < α, llavors 0α = 0. 1α = 1. α¹ = α. αβ·αγ = αβ + γ. (αβ)γ = αβ·γ. Existeixen α, β, i γ per als quals (α·β)γ ≠ αγ·βγ. Per exemple, (ω·2)² = ω·2·ω·2 = ω²·2 ≠ ω²·4. L'exponenciació d'ordinals és estrictament creixent i contínua en el segon argument: si γ > 1 i α < β, llavors γα < γβ. Si α < β, llavors αγ ≤ βγ. Notem, per exemple, que 2 < 3 però 2ω = 3ω = ω. Si α > 1 i αβ = αγ, llavors β = γ. Si α = 1 o α = 0 això no és cert. Per a qualssevol α i β, si β > 1 i α > 0 llavors existeixen γ, δ, i ρ únics tals que α = βγ·δ + ρ amb les propietats que 0 < δ < β i ρ < βγ.

Cal ressaltar que l'exponenciació d'ordinals és ben diferent de l'exponenciació de cardinals. Per exemple, en l'exponenciació d'ordinals 2ω = ω, però en l'exponenciació de cardinals, és la cardinalitat del continu, que és més gran que . Per tal d'evitar confondre l'exponenciació d'ordinals amb l'exponenciació de cardinals, hom pot emprar uns símbols en el cas d'ordinals (per exemple, ω) i uns altres símbols en el cas de cardinals (per exemple, ).

Ernst Jacobsthal va demostrar que les úniques solucions de αβ = βα amb α≤β són α=β, o bé α=2 i β=4, o bé α qualsevol ordinal límit i β=εα, on ε és un ε-nombre més gran que α.

Forma normal de Cantor Tot nombre ordinal α es pot escriure de forma única com , on k és un nombre natural, són enters positius, i són nombres ordinals. Aquesta descomposició dα s'anomena forma normal de Cantor dα, i es pot considerar com un sistema de notació posicional en base ω. L'exponent major, , s'anomena grau d', i satisfà . La igualtat es dona si i només si . En aquest cas, la forma normal de Cantor no expressa l'ordinal en termes d'ordinals menors; això pot passar com s'explica més endavant.